Determinar a área da região limitada pelas curvas
e
no
Quadrante
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com a determinação de áreas entre curvas. Para resolver isso, precisamos encontrar os pontos de interseção das curvas e integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Rearranjamos a equação para resolver para
:
Passo 5
Resolvemos a equação para encontrar os valores de
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, encontramos os correspondentes valores de
substituindo de volta em uma das equações originais, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Portanto, os pontos de interseção são
e
. Agora vamos determinar qual das curvas está acima da outra nesse intervalo. Testando um valor entre 0 e 2, por exemplo,
:
Para
Para
Como
, a curva
está acima da curva
nesse intervalo.
Passo 8
Para encontrar a área entre as curvas, integramos a diferença entre elas de
a
:
Passo 9
Vamos resolver a integral separadamente:
Primeiro, a integral de
:
Segundo, a integral de
:
Passo 10
Agora aplicamos os limites de integração:
Calculando para
:
Calculando para
:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante é
unidades de área.