Determinar a área da região limitada pelas curvas y=raiz2 x e y=x no 1^circ Quadrante

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a área da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com a determinação de áreas entre curvas. Para resolver isso, precisamos encontrar os pontos de interseção das curvas e integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
raiz2x = x

Passo 3

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(raiz2x)^2 = x^2 2x = x^2

Passo 4

Rearranjamos a equação para resolver para x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 :

Passo 5

Resolvemos a equação para encontrar os valores de x = 0 ou x = 2 :

Passo 6

Agora que temos os valores de y = 0 , encontramos os correspondentes valores de y = 2 substituindo de volta em uma das equações originais, por exemplo, :
Para :
Para :

Passo 7

Portanto, os pontos de interseção são e . Agora vamos determinar qual das curvas está acima da outra nesse intervalo. Testando um valor entre 0 e 2, por exemplo, :
Para
Para
Como , a curva está acima da curva nesse intervalo.

Passo 8

Para encontrar a área entre as curvas, integramos a diferença entre elas de Área = integral0^2 (raiz2x - x) , dx a :
Á

Passo 9

Vamos resolver a integral separadamente:
Primeiro, a integral de integral raiz2x , dx = integral (2x)^1/2 , dx = 23 (2x)^3/2 cdot 12 = 23 cdot 2^3/2 x^3/2 = 2raiz23 x^3/2 :
integral x , dx = x^22
Segundo, a integral de :

Passo 10

Agora aplicamos os limites de integração:
Área = [ 2raiz23 x^3/2 - x^22 ]0^2 Á
Calculando para 2raiz23 (2)^3/2 - (2)^22 = 2raiz23 cdot 2raiz2 - 42 = 2raiz2 cdot 2raiz23 - 2 = 83 - 2 = 83 - 63 = 23 :
2raiz23 (0)^3/2 - (0)^22 = 0 - 0 = 0
Calculando para :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante é unidades de área.

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