Calcule integral triplaR sen(2 x+2 y+z) d x d y d z, onde R=[0, pi2] x[0, pi] x[0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sin(2x + 2y + z) sobre a região R = [0, pi2] times [0, pi] times [0, pi]. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas em cálculo, especialmente integrais triplas. Para resolver, vamos integrar uma variável de cada vez, seguindo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a z. A função que vamos integrar é sin(2x + 2y + z). A integral de sin(a z + b) em relação a z é -cos(a z + b)/a. No nosso caso, a = 1 e b = 2x + 2y. Então:
integral sin(2x + 2y + z) , dz = -cos(2x + 2y + z) + C
Agora, avaliamos de z = 0 a z = pi:
-cos(2x + 2y + pi) + cos(2x + 2y + 0) = -cos(2x + 2y + pi) + cos(2x + 2y)
Sabemos que cos(theta + pi) = -cos(theta), então:
-(-cos(2x + 2y)) + cos(2x + 2y) = 2cos(2x + 2y)

Passo 3

Agora, com a expressão 2cos(2x + 2y), vamos integrar em relação a y. A integral de cos(a y + b) em relação a y é sin(a y + b)a + C. Aqui, a = 2 e b = 2x. Então:
integral 2cos(2x + 2y) , dy = 2 cdot sin(2x + 2y)2 = sin(2x + 2y)
Avaliamos de y = 0 a y = pi:
sin(2x + 2pi) - sin(2x + 0) = sin(2x) - sin(2x) = 0

Passo 4

Finalmente, vamos integrar o resultado em relação a x. Como o resultado da etapa anterior foi 0, a integral em relação a x será simplesmente:
integral 0 , dx = 0

Resposta

O valor da integral tripla é 0.

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