Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma a y^prime prime+b y^prime+c y=0, a neq 0 com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
y=e^raizpi t é uma solução.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
a,y'' + b,y' + c,y = 0, aneq 0,
tal que y = e^raizpi,t seja solução. Vamos usar a relação entre soluções exponenciais e raízes da equação característica.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo y(t)=e^r t, ao substituirmos na EDO obtemos a equação característica
a,r^2 + b,r + c = 0
Para que y=e^raizpi,t seja solução, devemos ter r=raizpi como raiz desse polinômio.

Passo 3

Uma escolha simples é exigir que raizpi seja raiz dupla da característica. Assim, montamos
(r - raizpi)^2 = 0

Passo 4

Expandindo (r-raizpi)^2 vem
r^2 - 2raizpi,r + pi = 0
Comparando com a,r^2 + b,r + c =0, podemos tomar
a = 1, b = -2raizpi, c = pi
Logo a EDO buscada é
y'' - 2raizpi,y' + pi,y = 0

Resposta

y'' - 2raizpi,y' + pi,y = 0

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