Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma
com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
é uma solução.
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
tal que
seja solução. Vamos usar a relação entre soluções exponenciais e raízes da equação característica.
Passo 2
Supondo uma solução do tipo
, ao substituirmos na EDO obtemos a equação característica
Para que
seja solução, devemos ter
como raiz desse polinômio.
Passo 3
Uma escolha simples é exigir que
seja raiz dupla da característica. Assim, montamos
Passo 4
Expandindo
vem
Comparando com
, podemos tomar
Logo a EDO buscada é