Mostre que:
ei times ej=epsiloni j k ek

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que
ei times ej = epsilonijk,ek,
onde e1,e2,e3 é uma base ortonormal direta em R^3 e epsilonijk é o símbolo de Levi-Civita. Vamos usar a definição componente a componente do produto vetorial e a convenção de soma de Einstein.

Passo 2

Recordemos que, para vetores A e B em R^3, o componente i-ésimo do produto vetorial é dado por
(A times B)i = epsilonijk,Aj,Bk,
onde somamos j,k=1,2,3 automaticamente pelos índices repetidos (convenção de Einstein).

Passo 3

Escolhendo A = ei e B = ej, sabemos que
(ei)m = de<aim e (ej)n = de<ajn.
Substituindo na definição:
(ei times ej)k = epsilonkmn,de<aim,de<ajn = epsilonkij

Passo 4

Reescrevendo como vetor, obtemos
ei times ej = (ei times ej)k,ek = epsilonkij,ek
Como epsilonkij = epsilonijk por permutação cíclica dos índices, conclui-se
ei times ej = epsilonijk,ek

Resposta

ei times ej = epsilonijk,ek.

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