Mostre que:
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que
,
onde é uma base ortonormal direta em
e
é o símbolo de Levi-Civita. Vamos usar a definição componente a componente do produto vetorial e a convenção de soma de Einstein.
onde
Passo 2
Recordemos que, para vetores
e
em
, o componente
-ésimo do produto vetorial é dado por
onde somamos
automaticamente pelos índices repetidos (convenção de Einstein).
Passo 3
Escolhendo
e
, sabemos que
e
.
Substituindo na definição:
Substituindo na definição:
Passo 4
Reescrevendo como vetor, obtemos
Como
por permutação cíclica dos índices, conclui-se