Considere a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais
onde
é um número real. O comportamento da solução quando
depende do valor de
?
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes dependentes do parâmetro
:
com condições iniciais
e
.
Conteúdo: resolver EDO por equação característica e depois aplicar condições iniciais e estudar o limite quando .
Conteúdo: resolver EDO por equação característica e depois aplicar condições iniciais e estudar o limite quando
Passo 2
Escrevemos a equação característica substituindo
:
O discriminante é
Logo
e as raízes são
De fato isso dá sempre as raízes
com caso degenerado
(raiz dupla).
Passo 3
Para
a solução geral é
Aplicando
obtemos
.
Em , a condição
dá
Em
Logo, para
,
No caso especial
temos raiz dupla
e
ficando
Passo 4
Analisamos o comportamento de
conforme
:
- Se
, o termo domina e . - Se
, da fórmula vem . - Se
, tanto quanto decaem, e no caso temos . Logo para todo , .
Resposta
Para
:
(crescimento exponencial).
Para :
(converge a constante).
Para :
(decai para zero).
Para
Para