Considere a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais
y^prime prime+(3-alpha) y^prime-3 alpha y=0 ; y(0)=0 ; y^prime(0)=1,
onde alpha é um número real. O comportamento da solução quando t infty depende do valor de alpha ?

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes dependentes do parâmetro alpha:
y''+(3-alpha)y'-3alpha y=0,
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1.
Conteúdo: resolver EDO por equação característica e depois aplicar condições iniciais e estudar o limite quando ttoinfty.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo y=e^rt:
r^2+(3-alpha)r-3alpha=0
O discriminante é
De<a=(3-alpha)^2+12alpha=alpha^2+6alpha+9=(alpha+3)^2
Logo raizDe<a=|alpha+3| e as raízes são
r=-(3-alpha)pm|alpha+3|2
De fato isso dá sempre as raízes
r1=alpha, r2=-3,
com caso degenerado alpha=-3 (raiz dupla).

Passo 3

Para alphaneq-3 a solução geral é
y(t)=C1e^alpha t+C2e^-3t
Aplicando y(0)=0 obtemos C1+C2=0Rightarrow C2=-C1.
Em y'(t)=C1alpha e^alpha t-3C2e^-3t, a condição y'(0)=1
C1(alpha+3)=1Rightarrow C1=1alpha+3, C2=-1alpha+3
Logo, para alphaneq-3,
y(t)=e^alpha t-e^-3talpha+3
No caso especial alpha=-3 temos raiz dupla r=-3 e
y(t)=(C1+C2t)e^-3t,;y(0)=0Rightarrow C1=0,;y'(0)=C2=1,
ficando
y(t)=t,e^-3t

Passo 4

Analisamos o comportamento de y(t) conforme alpha:
  • Se alpha>0, o termo e^alpha t domina e y(t)sim1alpha+3e^alpha tto+infty.
  • Se alpha=0, da fórmula y(t)=tfrac1-e^-3t3 vem limttoinftyy(t)=tfrac13.
  • Se alpha<0, tanto e^alpha t quanto e^-3t decaem, e no caso alpha=-3 temos t,e^-3tto0. Logo para todo alpha<0, limttoinftyy(t)=0.

Resposta

Para alpha>0: y(t)to+infty (crescimento exponencial).
Para alpha=0: y(t)to13 (converge a constante).
Para alpha<0: y(t)to0 (decai para zero).

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