Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma
com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
é uma solução.
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, com coeficientes constantes, da forma
de modo que
seja solução. Neste tipo de EDO, as soluções são combinações de potências de
, onde
é raiz do polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos
Portanto identificamos o parâmetro
de modo que
.
Passo 3
Em equações com raízes repetidas do polinômio característico, se
é raiz dupla, as soluções fundamentais são
Como nosso
coincide com a segunda solução fundamental, concluímos que o polinômio característico deve ter
como raiz de multiplicidade 2.
Passo 4
O polinômio característico com raiz dupla
é
, ou seja
Substituindo
(onde
é o operador
) e
, a EDO correspondente é
isto é