Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma a y^prime prime+b y^prime+c y=0, a neq 0 com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
y=t 2^t é uma solução.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, com coeficientes constantes, da forma
a,y'' + b,y' + c,y = 0, aneq0,
de modo que y(t)=t,2^t seja solução. Neste tipo de EDO, as soluções são combinações de potências de e^rt, onde r é raiz do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos
y(t)=t,2^t = t,e^tln2
Portanto identificamos o parâmetro
r = ln 2
de modo que y(t)=t,e^rt.

Passo 3

Em equações com raízes repetidas do polinômio característico, se r é raiz dupla, as soluções fundamentais são
e^rt e t,e^rt
Como nosso y(t)=t,e^rt coincide com a segunda solução fundamental, concluímos que o polinômio característico deve ter r=ln2 como raiz de multiplicidade 2.

Passo 4

O polinômio característico com raiz dupla r é (lambda - r)^2=0, ou seja
lambda^2 - 2r,lambda + r^2 = 0
Substituindo lambda = D (onde D é o operador tfracddt) e r=ln2, a EDO correspondente é
D^2 y - 2(ln2),D y + (ln2)^2,y = 0,
isto é
y'' - 2ln(2),y' + l(ln(2)r)^2,y = 0

Resposta

y'' - 2ln(2),y' + l(ln(2)r)^2,y = 0

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