Esboce o gráfico da função:
f(x, y)=x^2+4 y^2+1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x,y)=x^2+4y^2+1,
ou seja, da superfície z=f(x,y) no espaço R^3. O conteúdo aqui é o reconhecimento de que essa superfície é um paraboloide elíptico e que podemos usar curvas de nível e seções planas para desenhá-la.

Passo 2

Determinamos as curvas de nível por
f(x,y)=k Long<=ftrightarrow x^2+4y^2+1=k Long<=ftrightarrow x^2+4y^2=k-1
Para k<1 não há solução, para k=1 surge apenas o ponto (0,0) e, para k>1, obtemos uma família de elipses no plano xy, cujo semieixo maior vale raizk-1 em x e semieixo menor vale tfracraizk-12 em y.

Passo 3

Analisamos também seções planas:
para y=0 temos
z = f(x,0)=x^2+1,
que é uma parábola no plano xz com vértice em (0,1);
para x=0 temos
z = f(0,y)=4y^2+1,
que é uma parábola no plano yz com vértice em (0,1).
Esses cortes mostram que a superfície se abre para cima a partir do ponto (0,0,1).

Passo 4

Para esboçar, siga estes passos:
  1. Desenhe os eixos x, y e z.
  2. Marque o vértice da superfície em (0,0,1).
  3. No plano z=2, desenhe a elipse x^2+4y^2=1;
    no plano z=5, desenhe a elipse x^2+4y^2=4; e assim por diante.
  4. Una suavemente essas elipses, respeitando o crescimento de seus raios, para formar um paraboloide elíptico.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=x^2+4y^2+1 é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,1) que se abre para cima. As curvas de nível z=k são elipses definidas por
x^2+4y^2=k-1(k>1),
com semieixo em x igual a raizk-1 e semieixo em y igual a tfracraizk-12.

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