Esboce o gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
ou seja, da superfície
no espaço
. O conteúdo aqui é o reconhecimento de que essa superfície é um paraboloide elíptico e que podemos usar curvas de nível e seções planas para desenhá-la.
Passo 2
Determinamos as curvas de nível por
Para
não há solução, para
surge apenas o ponto
e, para
, obtemos uma família de elipses no plano
, cujo semieixo maior vale
em
e semieixo menor vale
em
.
Passo 3
Analisamos também seções planas:
para temos
para
que é uma parábola no plano
com vértice em
;
para temos
para
que é uma parábola no plano
com vértice em
.
Esses cortes mostram que a superfície se abre para cima a partir do ponto .
Esses cortes mostram que a superfície se abre para cima a partir do ponto
Passo 4
Para esboçar, siga estes passos:
- Desenhe os eixos
, e . - Marque o vértice da superfície em
. - No plano
, desenhe a elipse ;
no plano, desenhe a elipse ; e assim por diante. - Una suavemente essas elipses, respeitando o crescimento de seus raios, para formar um paraboloide elíptico.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide elíptico com vértice em
que se abre para cima. As curvas de nível
são elipses definidas por
com semieixo em
igual a
e semieixo em
igual a
.