Mostre que:
(ei times ej) cdot ek=epsiloni j k

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que em uma base ortonormal direita hat e1,hat e2,hat e3 vale a relação
(hat eitimes hat ej)cdot hat ek = epsilonijk,
onde epsilonijk é o símbolo de Levi-Civita.

Passo 2

Lembramos que o produto vetorial de vetores de componentes Am e Bn em coordenadas cartesianas é
(vec Atimes vec B)ell = epsilonell m n,Am,Bn
Aplicando isso a hat eitimes hat ej, cujas componentes são Am=de<ami e Bn=de<anj, obtemos
hat eitimes hat ej = l(epsilonell m n,de<ami,de<anjr),hat eell = epsilonell i j,hat eell

Passo 3

Sabemos que a base é ortonormal, logo
hat eellcdot hat ek = de<aell k,
onde de<aell k é o delta de Kronecker.

Passo 4

Fazendo o produto escalar com hat ek,
(hat eitimes hat ej)cdot hat ek = l(epsilonell i j,hat eellr)cdot hat ek = epsilonell i j,underbrace(hat eellcdot hat ek)de<aell k = epsilonell i j,de<aell k = epsiloni j k

Resposta

(hat eitimes hat ej)cdot hat ek = epsiloni j k

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