Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma
com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
A solução que satisfaz
é crescente no intervalo
.
A solução que satisfaz
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
cuja solução que satisfaz
seja crescente para
. Vamos escolher coeficientes que gerem uma solução do tipo cosseno hiperbólico, pois
satisfaz essas condições e é crescente em
.
Passo 2
Considere a equação característica
cuja forma corresponde à ODE
Os coeficientes são
,
,
. Para simplificar, tomamos
, resultando em
Passo 3
Resolvendo
a equação característica é
com raízes
. Logo a solução geral é
Aplicando
e
:
Assim
.
Passo 4
Com
temos
Calculamos
e como
para todo
, a solução é crescente em
.
Resposta
A equação diferencial requerida é