Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma a y^prime prime+b y^prime+c y=0, a neq 0 com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
A solução que satisfaz y(0)=1 ; y^prime(0)=0 é crescente no intervalo (0, infty).

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
a,y'' + b,y' + c,y = 0, aneq 0
cuja solução que satisfaz
y(0)=1, y'(0)=0
seja crescente para x>0. Vamos escolher coeficientes que gerem uma solução do tipo cosseno hiperbólico, pois cosh(x) satisfaz essas condições e é crescente em (0,infty).

Passo 2

Considere a equação característica
r^2 - lambda^2 = 0,
cuja forma corresponde à ODE
y'' - lambda^2,y = 0
Os coeficientes são a=1, b=0, c=-lambda^2. Para simplificar, tomamos lambda=1, resultando em
y'' - y = 0

Passo 3

Resolvendo
y'' - y = 0
a equação característica é r^2-1=0 com raízes r=pm1. Logo a solução geral é
y(x)=A e^x + B e^-x
Aplicando y(0)=1 e y'(0)=0:
y(0)=A+B=1,
y'(x)=A e^x - B e^-ximplies y'(0)=A-B=0
Assim A=B=tfrac12.

Passo 4

Com A=B=tfrac12 temos
y(x)=tfrac12 e^x + tfrac12 e^-x = cosh(x)
Calculamos
y'(x)=sinh(x),
e como sinh(x)>0 para todo x>0, a solução é crescente em (0,infty).

Resposta

A equação diferencial requerida é
boxedy'' - y = 0

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