Usando derivação implicita, calcule y^prime :
ln (y x)=e^x y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
ln(yx)=e^xy
e pede y'. Aqui vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia e produto em cada lado da igualdade.

Passo 2

Derivamos o lado esquerdo ln(yx). Se u= yx, então ddxln(u)=u'u e
u'= ddx(yx)=y + x,y'
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ddxl[ln(yx)r] =y + x,y'yx =yyx+x,y'yx =1x+y'y

Passo 3

Derivamos o lado direito e^xy. Pela regra da cadeia,
ddxl[e^xyr] =e^xy,ddx(xy) =e^xy,(y + x,y')

Passo 4

Igualamos as duas derivadas:
1x+y'y =e^xy(y + x,y')
Reorganizando para isolar y':
y'y-x,e^xy,y' = y,e^xy-1x,
y'l(1y - x,e^xyr) = y,e^xy-1x,
y' =y,e^xy-1x1y - x,e^xy

Passo 5

Para simplificar, observe que
y,e^xy-1x=x,y,e^xy-1x, 1y - x,e^xy=1-x,y,e^xyy =-x,y,e^xy-1y
Assim
y' =x,y,e^xy-1x-x,y,e^xy-1y =yx,x,y,e^xy-1-(x,y,e^xy-1) =-yx

Resposta

y'=-yx

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