Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma a y^prime prime+b y^prime+c y=0, a neq 0 com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
Todas as soluções tem periodo 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes da forma
a,y'' + b,y' + c,y = 0
com aneq0, tal que todas as soluções sejam periódicas de período 2pi. Vamos usar o estudo das raízes da equação característica.

Passo 2

A equação característica associada é
a,r^2 + b,r + c = 0
Para que as soluções sejam puramente periódicas (sem amortecimento), as raízes devem ser conjugadas e puramente imaginárias:
r = pm i,beta, beta>0
Isso implica b=0 e c/a=beta^2.

Passo 3

A solução geral, em termos reais, é
y(x) = Acos(beta x) + Bsin(beta x)
O período dessa solução é T = 2pi/beta. Como queremos T=2pi, devemos ter beta=1, ou seja, c/a=1.

Passo 4

Escolhendo a=1 sem perda de generalidade, vem b=0 e c=1. Assim a equação diferencial é
y'' + y = 0

Resposta

y'' + y = 0

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