Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma
com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
Todas as soluções tem periodo
.
Todas as soluções tem periodo
Passo 1
O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes da forma
com
, tal que todas as soluções sejam periódicas de período
. Vamos usar o estudo das raízes da equação característica.
Passo 2
A equação característica associada é
Para que as soluções sejam puramente periódicas (sem amortecimento), as raízes devem ser conjugadas e puramente imaginárias:
Isso implica
e
.
Passo 3
A solução geral, em termos reais, é
O período dessa solução é
. Como queremos
, devemos ter
, ou seja,
.
Passo 4
Escolhendo
sem perda de generalidade, vem
e
. Assim a equação diferencial é