Usando derivação implicita, calcule y^prime :
x arctan (y)+y arctan (x)=1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
xarctan(y)+yarctan(x)=1
e pede y'=dydx. O conteúdo é derivação implícita, usando regra do produto e regra da cadeia para derivar cada termo em função de x e y.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, para o primeiro termo aplicamos produto e cadeia:
ddxl(xarctan(y)r) =underbrace1cdotarctan(y)deriv de x +underbracexcdot11+y^2;y'deriv de arctan(y) =arctan(y)+x,y'1+y^2
No segundo termo, idem:
ddxl(yarctan(x)r) =underbracey'cdotarctan(x)deriv de y +underbraceycdot11+x^2deriv de arctan(x) =y',arctan(x)+y1+x^2
O lado direito é constante, logo sua derivada é zero. Assim obtemos
arctan(y)+x,y'1+y^2 +y',arctan(x) +y1+x^2 =0

Passo 3

Agrupando os termos com y' e isolando:
y'l(arctan(x)+x1+y^2r) =-l(arctan(y)+y1+x^2r)
Logo
y' =- arctan(y)+y1+x^2 arctan(x)+x1+y^2

Resposta

y' =-arctan(y)+dfracy1+x^2 arctan(x)+dfracx1+y^2

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