Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma
com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
Toda as soluções tendem a 0 quando
.
Toda as soluções tendem a 0 quando
Passo 1
O enunciado pede para cada um dos seguintes casos – raízes reais distintas, raiz real dupla e raízes complexas conjugadas – escolher uma equação da forma
de modo que todas as soluções satisfaçam
O critério geral é garantir que as raízes da equação característica
tenham parte real negativa.
Passo 2
Caso 1 – raízes reais distintas.
Escolhemos ,
,
. A equação é
Escolhemos
A equação característica é
com raízes
ambas negativas. A solução geral é
e claramente
quando
.
Passo 3
Caso 2 – raiz real dupla.
Escolhemos ,
,
. A equação é
Escolhemos
A equação característica é
com raiz dupla
A solução geral é
e como
e
quando
, segue que
.
Passo 4
Caso 3 – raízes complexas conjugadas.
Escolhemos ,
,
. A equação é
Escolhemos
A equação característica é
com raízes
cuja parte real é
. A solução geral pode ser escrita como
Como
quando
, conclui-se que
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)