Em cada caso, determine uma equação diferencial da forma a y^prime prime+b y^prime+c y=0, a neq 0 com a condição dada. Justifique adequadamente sua resposta.
Toda as soluções tendem a 0 quando t infty.

Passo 1

O enunciado pede para cada um dos seguintes casos – raízes reais distintas, raiz real dupla e raízes complexas conjugadas – escolher uma equação da forma
a,y''+b,y'+c,y=0, aneq0
de modo que todas as soluções satisfaçam
limttoinftyy(t)=0
O critério geral é garantir que as raízes da equação característica
a,r^2 + b,r + c = 0
tenham parte real negativa.

Passo 2

Caso 1 – raízes reais distintas.
Escolhemos a=1, b=5, c=6. A equação é
y'' + 5,y' + 6,y = 0
A equação característica é
r^2 + 5r + 6 = 0
com raízes
r = -2, r = -3,
ambas negativas. A solução geral é
y(t) = A,e^-2t + B,e^-3t,
e claramente y(t)to0 quando ttoinfty.

Passo 3

Caso 2 – raiz real dupla.
Escolhemos a=1, b=2, c=1. A equação é
y'' + 2,y' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0
com raiz dupla
r = -1
A solução geral é
y(t) = l(A + B,tr),e^-t,
e como e^-tto0 e t,e^-tto0 quando ttoinfty, segue que y(t)to0.

Passo 4

Caso 3 – raízes complexas conjugadas.
Escolhemos a=1, b=1, c=1. A equação é
y'' + y' + y = 0
A equação característica é
r^2 + r + 1 = 0
com raízes
r = -1 pm iraiz32,
cuja parte real é -tfrac12<0. A solução geral pode ser escrita como
y(t) = e^-t/2l(Ccosl(tfracraiz32tr) + Dsinl(tfracraiz32tr)r)
Como e^-t/2to0 quando ttoinfty, conclui-se que y(t)to0.

Resposta

(a) y'' + 5,y' + 6,y = 0
(b) y'' + 2,y' + y = 0
(c) y'' + y' + y = 0

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