Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível:
Passo 1
O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
isto é, todas as curvas do tipo
para vários valores de
. Vamos usar a teoria de curvas de nível e o fato de que essas equações definem hipérboles (ou retas, no caso
).
Passo 2
A curva de nível geral é
Para interpretar essa família:
- se
, escrevemos que é uma hipérbole com assíntotas e abertura ao longo do eixo ; - se
, reescrevemos que é uma hipérbole com abertura ao longo do eixo ; - se
, obtemos ou seja, duas retas passando pela origem.
Passo 3
Escolhendo valores típicos de nível
temos:
– Para
:
hipérbole de abertura horizontal.
– Para
:
mais uma hipérbole horizontal, mais “fechada” que a de
.
– Para
:
duas retas que servem de assíntotas para todas as hipérboles.
– Para
:
hipérbole de abertura vertical.
– Para
:
hipérbole vertical um pouco mais “aberta” que a de
.
Passo 4
Para montar o mapa de contorno no plano
:
- Trace os eixos
e . - Marque as retas assíntotas
e . - Sobre elas, esboce as hipérboles:
- Para
e , curvas que “abrem” para a direita e para a esquerda, cruzando o eixo em e . - Para
e , curvas que “abrem” para cima e para baixo, cruzando o eixo em e .
- Para
- Rotule cada curva com seu valor de
.
Resposta
As curvas de nível de
para
são dadas por
onde:
-
são as retas ; - para
(1 e 2) são hipérboles de abertura horizontal; - para
( e ) são hipérboles de abertura vertical.