Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível:
f(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
f(x,y)=x^2-y^2,
isto é, todas as curvas do tipo
x^2-y^2=c,
para vários valores de c. Vamos usar a teoria de curvas de nível e o fato de que essas equações definem hipérboles (ou retas, no caso c=0).

Passo 2

A curva de nível geral é
x^2-y^2=c
Para interpretar essa família:
  • se c>0, escrevemos x^2c-y^2c=1, que é uma hipérbole com assíntotas y=pm x e abertura ao longo do eixo x;
  • se c<0, reescrevemos y^2-c-x^2-c=1, que é uma hipérbole com abertura ao longo do eixo y;
  • se c=0, obtemos x^2-y^2=0 Longrightarrow y=pm x, ou seja, duas retas passando pela origem.

Passo 3

Escolhendo valores típicos de nível
c=2,;1,;0,;-1,;-2,
temos:
– Para c=2:
x^2-y^2=2 Longrightarrow x=pmraiz2;quando y=0,
hipérbole de abertura horizontal.
– Para c=1:
x^2-y^2=1 Longrightarrow x=pm1;quando y=0,
mais uma hipérbole horizontal, mais “fechada” que a de c=2.
– Para c=0:
y=pm x,
duas retas que servem de assíntotas para todas as hipérboles.
– Para c=-1:
x^2-y^2=-1 Longrightarrow y=pm1;quando x=0,
hipérbole de abertura vertical.
– Para c=-2:
x^2-y^2=-2 Longrightarrow y=pmraiz2;quando x=0,
hipérbole vertical um pouco mais “aberta” que a de -1.

Passo 4

Para montar o mapa de contorno no plano xy:
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque as retas assíntotas y=+x e y=-x.
  3. Sobre elas, esboce as hipérboles:
    • Para c=1 e c=2, curvas que “abrem” para a direita e para a esquerda, cruzando o eixo x em pm1 e pmraiz2.
    • Para c=-1 e c=-2, curvas que “abrem” para cima e para baixo, cruzando o eixo y em pm1 e pmraiz2.
  4. Rotule cada curva com seu valor de c.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x^2-y^2 para c=2,1,0,-1,-2 são dadas por
x^2-y^2=2, x^2-y^2=1, x^2-y^2=0, x^2-y^2=-1, x^2-y^2=-2,
onde:
  • x^2-y^2=0 são as retas y=pm x;
  • para c>0 (1 e 2) são hipérboles de abertura horizontal;
  • para c<0 ( -1 e -2) são hipérboles de abertura vertical.

Exercícios relacionados