Em cada caso, determine a equação e esboce o gráfico da superfície de revolução gerada pela rotação da curva
em torno do eixo indicado.
; eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a superfície obtida ao girar a curva
em torno do eixo
. O conteúdo é “superfície de revolução” e vamos precisar usar a transformação de rotação no espaço e eliminar parâmetros para achar a equação implícita da superfície.
Passo 2
Primeiro expressamos
de forma paramétrica no plano
. Seja
Então um ponto genérico da curva é
Passo 3
Agora rodamos esse ponto em torno do eixo
por um ângulo
. A rotação no plano
faz
mantendo
Logo a parametrização da superfície é
Passo 4
Para achar a equação implícita, notamos que
Substituindo em
obtemos
Passo 5
A equação
é a de um paraboloide circular. Podemos escrever também
que mostra ser um paraboloide com vértice em
, eixo de revolução ao longo de
e abertura voltada para
decrescente. As seções por planos horizontais
são círculos de raio
.
Resposta
paraboloide circular com eixo no eixo
, vértice em
e abertura voltada para baixo.