Em cada caso, determine a equação e esboce o gráfico da superfície de revolução gerada pela rotação da curva g em torno do eixo indicado.
g: x^2+2 y=6, z=0; eixo y.

Passo 1

O enunciado pede a superfície obtida ao girar a curva
g:;x^2+2y=6, z=0
em torno do eixo y. O conteúdo é “superfície de revolução” e vamos precisar usar a transformação de rotação no espaço e eliminar parâmetros para achar a equação implícita da superfície.

Passo 2

Primeiro expressamos g de forma paramétrica no plano z=0. Seja
t=x, y=6-t^22, z=0
Então um ponto genérico da curva é
l(t,,(6-t^2)/2,,0r)

Passo 3

Agora rodamos esse ponto em torno do eixo y por um ângulo theta. A rotação no plano xz faz
x = tcostheta, z = tsintheta,
mantendo
y = 6 - t^22
Logo a parametrização da superfície é
r(t,theta)=l(tcostheta,;(6-t^2)/2,;tsinthetar)

Passo 4

Para achar a equação implícita, notamos que
x^2+z^2 = t^2
Substituindo em y=(6-t^2)/2 obtemos
2y = 6 - (x^2+z^2) Longrightarrow x^2+z^2+2y = 6

Passo 5

A equação
x^2+z^2+2y = 6
é a de um paraboloide circular. Podemos escrever também
y = 3 - x^2+z^22,
que mostra ser um paraboloide com vértice em (0,3,0), eixo de revolução ao longo de y e abertura voltada para y decrescente. As seções por planos horizontais y=const são círculos de raio raiz6-2y.

Resposta

x^2+z^2+2y = 6,
paraboloide circular com eixo no eixo y, vértice em (0,3,0) e abertura voltada para baixo.

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