(a) Mostre |f|1=integral0^1|f(x)| d x é uma norma em C[0,1] mas é apenas uma seminorma no espaço vetorial das funções Riemann-integráveis.
(b) Verifique s e(C[0,1],|cdot|1) é um espaço de Banach.
(c) Qual a relação (no sentido da inclusão) entre as topologias geradas por |cdot|1 e |cdot|infty ?

Passo 1

O enunciado pede:
  1. Mostrar que
|f|1=integral0^1|f(x)|,dx
é uma norma em C[0,1] mas apenas uma seminorma no espaço das funções Riemann-integráveis.
2. Verificar se l(C[0,1],|cdot|1r) é um espaço de Banach (isto é, completo).
3. Comparar as topologias geradas por |cdot|1 e por |cdot|infty.
Conteúdo: normas e seminormas, completude de espaços normados, relação entre topologias de normas.

Passo 2

(a) Propriedades de norma/seminorma para |cdot|1:
  1. Não negatividade: Para toda função integrável f, |f|1=integral0^1|f(x)|,dx>=0.
  2. Homogeneidade: Para alphainR,
|alpha f|1 =integral0^1|alpha,f(x)|,dx =|alpha|integral0^1|f(x)|,dx =|alpha||f|1
  1. Desigualdade triangular: Se f,g são integráveis,
|f+g|1 =integral0^1|f(x)+g(x)|,dx <=integral0^1l(|f(x)|+|g(x)|r),dx =|f|1+|g|1
  1. Separação:
  • Em C[0,1], |f|1=0 implica integral0^1|f(x)|,dx=0. Como xmapsto|f(x)| é contínua e não negativa, isso só ocorre quando |f(x)|=0 para todo x, ou seja, fequiv0. Logo é norma.
  • Em geral, numa função Riemann-integrável f pode ocorrer integral0^1|f|=0 mesmo que f não seja identicamente zero (basta f anular-se salvo num conjunto de medida nula). Logo ali é só seminorma.

Passo 3

(b) Completude de
que não é contínua, mas defina aproximações contínuas para em um intervalo . Então para grandes
ou seja, é Cauchy em . Mas seu limite em é justamente , que não pertence a .
Conclusão: não é completo, logo não é Banach.

Passo 4

(c) Relação entre as topologias de |cdot|1 e |cdot|infty.
Para todo finC[0,1] vale
|f|1 =integral0^1|f(x)|,dx <=integral0^1|f|infty,dx =|f|infty
Isso implica que convergência em |cdot|infty força convergência em |cdot|1. Logo a topologia induzida por |cdot|infty é mais forte (ou seja, possui mais conjuntos abertos) do que a de |cdot|1. Em símbolos,
tauinfty;supset;tau1

Resposta

(a) Em C[0,1] todas as propriedades de norma se satisfazem, mas no espaço das funções Riemann-integráveis só a homogeneidade e a desigualdade triangular valem, pois |f|1=0 não implica fequiv0.
(b) l(C[0,1],|cdot|1r) não é Banach.
(c) A topologia de |cdot|infty é estritamente mais forte do que a de |cdot|1: tauinftysupsettau1.

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