(a) Mostre
é uma norma em
mas é apenas uma seminorma no espaço vetorial das funções Riemann-integráveis.
(b) Verifique
é um espaço de Banach.
(c) Qual a relação (no sentido da inclusão) entre as topologias geradas por
e
?
(b) Verifique
(c) Qual a relação (no sentido da inclusão) entre as topologias geradas por
Passo 1
O enunciado pede:
- Mostrar que
é uma norma em
mas apenas uma seminorma no espaço das funções Riemann-integráveis.
2. Verificar se é um espaço de Banach (isto é, completo).
3. Comparar as topologias geradas por e por
.
2. Verificar se
3. Comparar as topologias geradas por
Conteúdo: normas e seminormas, completude de espaços normados, relação entre topologias de normas.
Passo 2
(a) Propriedades de norma/seminorma para
:
- Não negatividade: Para toda função integrável
, . - Homogeneidade: Para
,
- Desigualdade triangular: Se
são integráveis,
- Separação:
- Em
, implica . Como é contínua e não negativa, isso só ocorre quando para todo , ou seja, . Logo é norma. - Em geral, numa função Riemann-integrável
pode ocorrer mesmo que não seja identicamente zero (basta anular-se salvo num conjunto de medida nula). Logo ali é só seminorma.
Passo 3
(b) Completude de
que não é contínua, mas defina aproximações contínuas para
em um intervalo
. Então para
grandes
ou seja,
é Cauchy em
. Mas seu limite em
é justamente
, que não pertence a
.
Conclusão: não é completo, logo não é Banach.
Conclusão:
Passo 4
(c) Relação entre as topologias de
e
.
Para todo vale
Para todo
Isso implica que convergência em
força convergência em
. Logo a topologia induzida por
é mais forte (ou seja, possui mais conjuntos abertos) do que a de
. Em símbolos,
Resposta
(a) Em
todas as propriedades de norma se satisfazem, mas no espaço das funções Riemann-integráveis só a homogeneidade e a desigualdade triangular valem, pois
não implica
.
(b) não é Banach.
(c) A topologia de é estritamente mais forte do que a de
:
.
(b)
(c) A topologia de