Em cada caso, determine a equação e esboce o gráfico da superfície de revolução gerada pela rotação da curva g em torno do eixo indicado.
g: y^2=2 z, x=0; eixo y.

Passo 1

O enunciado pede a superfície obtida ao rotacionar em torno do eixo y a curva
;g:;y^2=2z,;x=0.\n
O conteúdo aqui é superfícies de revolução: para cada ponto da curva geradora, calculamos a distância ao eixo de rotação e impomos essa distância constante em todos os pontos da superfície resultante.

Passo 2

Num ponto arbitrário (x,y,z) a distância ao eixo y é
r = raizx^2+z^2
Na curva geradora temos x=0 e z=tfracy^22. Logo, ao rotacionar esse ponto, o círculo gerado tem raio
r = raiz0^2 + l(tfracy^22r)^2 = y^22

Passo 3

Mantendo essa relação em toda a superfície, obtemos
raizx^2+z^2 = y^22
Elevando ao quadrado:
x^2 + z^2 = y^44

Passo 4

Essa é a equação da superfície: para cada valor de y, a interseção com o plano y=constante é um círculo de raio
;R(y)=tfracy^22. No ponto y=0 o raio é zero e ele cresce como o quadrado de y, simétrico em relação a y=0.

Resposta

A superfície de revolução tem equação
x^2 + z^2 = y^44,
cuja seção por y= constante é um círculo de raio R(y)=tfracy^22.

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