Mostre que o espaço vetorial das sequências convergentes munido da norma do supremo é um espaço de Banach.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de todas as sequências convergentes (em ou ) equipado com a norma do supremo
é um espaço de Banach, ou seja, que é completo: toda sequência de Cauchy em converge para algum elemento de . Vamos usar as ideias de sequência de Cauchy em norma de supremum, convergência uniforme e propriedades de limites em (ou ).
Passo 2
Seja uma sequência de Cauchy em . Por definição, para todo existe tal que, para todo ,
Em particular, para cada índice fixo k, l(x^(n)kr)ninN
é uma sequência de Cauchy em R (ou C), logo converge. Definimos então
xk ;=;limntoinfty x^(n)k,
e obtemos uma nova sequência x=(xk)kinN.
Passo 3
Vamos mostrar que x^(n)to x em norma do supremo, ou seja,
limntoinfty|,x^(n)-x|infty = 0
Dado varepsilon>0, escolhemos N como acima, de modo que para m,n>= N vale |x^(n)-x^(m)|infty<varepsilon.
Fixe n>= N. Para cada kinN temos
logo l(Lnr) é Cauchy em R e converge a algum L.
Dados varepsilon>0, escolha n grande para que |x^(n)-x|infty<varepsilon/3 e |Ln-L|<varepsilon/3, e então k grande para que l|x^(n)k - Lnr|<varepsilon/3. Pela desigualdade triangular, para tais k: