Mostre que c o espaço vetorial das sequências convergentes munido da norma do supremo é um espaço de Banach.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto c de todas as sequências convergentes (em R ou C) equipado com a norma do supremo
|x|infty = supkinN |xk|
é um espaço de Banach, ou seja, que é completo: toda sequência de Cauchy em (c,|cdot|infty) converge para algum elemento de c. Vamos usar as ideias de sequência de Cauchy em norma de supremum, convergência uniforme e propriedades de limites em R (ou C).

Passo 2

Seja l(x^(n)r)ninNsubset c uma sequência de Cauchy em |cdot|infty. Por definição, para todo varepsilon>0 existe N tal que, para todo m,n>= N,
|,x^(n)-x^(m)|infty = supkinNl|x^(n)k - x^(m)kr| < varepsilon
Em particular, para cada índice fixo k,
l(x^(n)kr)ninN
é uma sequência de Cauchy em R (ou C), logo converge. Definimos então
xk ;=;limntoinfty x^(n)k,
e obtemos uma nova sequência x=(xk)kinN.

Passo 3

Vamos mostrar que x^(n)to x em norma do supremo, ou seja,
limntoinfty|,x^(n)-x|infty = 0
Dado varepsilon>0, escolhemos N como acima, de modo que para m,n>= N vale
|x^(n)-x^(m)|infty<varepsilon.
Fixe n>= N. Para cada kinN temos
l|x^(n)k - xkr| = limmtoinftyl|x^(n)k - x^(m)kr| <= varepsilon
Fazendo supremum em k, obtemos |x^(n)-x|infty<=varepsilon. Assim x^(n)to x uniformemente, isto é, em norma do supremo.

Passo 4

Ainda falta ver que xin c, isto é, que xk converge quando ktoinfty. Para isso, note que cada x^(n)in c converge: seja
Ln ;=;limktoinftyx^(n)k
Então, para quaisquer m,n,
l|Ln - Lmr| =limktoinftyl|x^(n)k - x^(m)kr| <= |,x^(n)-x^(m)|infty,
logo l(Lnr) é Cauchy em R e converge a algum L.
Dados varepsilon>0, escolha n grande para que |x^(n)-x|infty<varepsilon/3 e |Ln-L|<varepsilon/3, e então k grande para que l|x^(n)k - Lnr|<varepsilon/3. Pela desigualdade triangular, para tais k:
l|xk - Lr| <= l|xk - x^(n)kr| + l|x^(n)k - Lnr| + l|Ln - Lr| < varepsilon
Logo xkto L, isto é, xin c.

Resposta

O espaço l(c,|cdot|inftyr) é completo; logo é um espaço de Banach.

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