Em cada caso, determine a equação e esboce o gráfico da superfície de revolução gerada pela rotação da curva g em torno do eixo indicado.
g: y=x^3, z=0; eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a superfície que se obtém ao girar a curva
g:;y=x^3,;z=0
em torno do eixo x. Vamos usar o conceito de superfície de revolução: cada ponto (x,y,0) da curva gera um círculo de raio igual à distância ao eixo x.

Passo 2

Parametrizamos a curva original por
gamma(t) = (t,;t^3,;0),
onde tinR. Nesse ponto, a coordenada y=t^3 define o raio do círculo gerado em torno de x.

Passo 3

Introduzimos o parâmetro de revolução thetain[0,2pi). Girando em torno de x, as coordenadas ficam
Phi(t,theta) = l(x,;ycostheta,;ysinthetar) = l(t,;t^3costheta,;t^3sinthetar)

Passo 4

Para obter a equação cartesiana, note que a distância ao eixo x é
raizy^2+z^2 = |t^3|
Elevando ao quadrado e substituindo t=x
y^2 + z^2 = x^6

Passo 5

Esboço qualitativo: em cada x, a secção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio lvert x^3rvert. No ponto x=0 o raio é zero e, à medida que lvert xrvert cresce, o “tubo” abre-se rapidamente. A superfície é simétrica em relação ao eixo x, parecendo dois “chifres” que se alargam para x>0 e para x<0.

Resposta

y^2 + z^2 = x^6
A superfície resultante é a revolução da curva y=x^3 em torno do eixo x, com secções circulares de raio lvert x^3rvert.

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