Em cada caso, determine a equação e esboce o gráfico da superfície de revolução gerada pela rotação da curva
em torno do eixo indicado.
; eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a superfície que se obtém ao girar a curva
em torno do eixo . Vamos usar o conceito de superfície de revolução: cada ponto
da curva gera um círculo de raio igual à distância ao eixo
.
em torno do eixo
Passo 2
Parametrizamos a curva original por
onde
. Nesse ponto, a coordenada
define o raio do círculo gerado em torno de
.
Passo 3
Introduzimos o parâmetro de revolução
. Girando em torno de
, as coordenadas ficam
Passo 4
Para obter a equação cartesiana, note que a distância ao eixo
é
Elevando ao quadrado e substituindo
dá
Passo 5
Esboço qualitativo: em cada
, a secção perpendicular ao eixo
é um círculo de raio
. No ponto
o raio é zero e, à medida que
cresce, o “tubo” abre-se rapidamente. A superfície é simétrica em relação ao eixo
, parecendo dois “chifres” que se alargam para
e para
.
Resposta
A superfície resultante é a revolução da curva
em torno do eixo
, com secções circulares de raio
.