Em cada caso, determine a equação e esboce o gráfico da superfície de revolução gerada pela rotação da curva
em torno do eixo indicado.
; eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
no plano
e pede a superfície obtida ao girar
em torno do eixo
. O conteúdo é superfícies de revolução: ao girar em torno do eixo
, a coordenada
permanece e a “altura”
vira o raio da seção circular gerada.
Passo 2
A teoria principal é que, ao revolver uma curva
no plano
(ou neste caso no plano
) em torno do eixo
, substituímos
pela distância ao eixo
, isto é
. Assim qualquer relação entre
e
vira uma relação entre
e
.
Passo 3
Partindo de
ao girar em torno de
fazemos
. Logo a superfície satisfaz
Passo 4
Para ver que é um elipsoide, basta escrever em forma padrão. Dividindo por
obtemos
Isto mostra que os semi-eixos são
ao longo de
e
nos eixos
e
. A superfície é um elipsoide de revolução (prolado) em torno de
.
Passo 5
No esboço, o eixo
tem comprimento total
(de
a
) e cada seção perpendicular a
é um círculo de raio
. O contorno visto de lado é a elipse original
.