Em cada caso, determine a equação e esboce o gráfico da superfície de revolução gerada pela rotação da curva g em torno do eixo indicado.
g: x^2+4 z^2=16, y=0; eixo x.

Passo 1

O enunciado dá a curva
g:;x^2+4z^2=16, y=0
no plano xz e pede a superfície obtida ao girar g em torno do eixo x. O conteúdo é superfícies de revolução: ao girar em torno do eixo x, a coordenada x permanece e a “altura” z vira o raio da seção circular gerada.

Passo 2

A teoria principal é que, ao revolver uma curva z=f(x) no plano yz (ou neste caso no plano xz) em torno do eixo x, substituímos z pela distância ao eixo x, isto é raizy^2+z^2. Assim qualquer relação entre x e z vira uma relação entre x e raizy^2+z^2.

Passo 3

Partindo de
x^2+4z^2=16,
ao girar em torno de x fazemos z^2mapsto y^2+z^2. Logo a superfície satisfaz
x^2+4,(y^2+z^2)=16

Passo 4

Para ver que é um elipsoide, basta escrever em forma padrão. Dividindo por 16 obtemos
x^216+y^2+z^24=1
Isto mostra que os semi-eixos são a=4 ao longo de x e b=c=2 nos eixos y e z. A superfície é um elipsoide de revolução (prolado) em torno de x.

Passo 5

No esboço, o eixo x tem comprimento total 8 (de -4 a 4) e cada seção perpendicular a x é um círculo de raio 2. O contorno visto de lado é a elipse original x^2+4z^2=16.

Resposta

x^2+4,(y^2+z^2)=16

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