Seja dada por , onde e é uma função contínua em . Prove que é um operador linear contínuo.
Passo 1
O enunciado define um operador
por
onde é contínua em .
Queremos mostrar que
é linear;
leva funções contínuas em funções contínuas;
é contínuo (ou seja, limitado) no espaço .
Passo 2
Para a linearidade, tomemos e escalares . Então
Logo , ou seja, é linear.
Passo 3
Mostramos agora que é contínua sempre que for contínua. Como é contínua em e este é compacto, é uniformemente contínua em . Dado e , existe tal que, se , então para todo s. Assim, para |t-t0|<de<a,