Seja T: C[0,1] C[0,1] dada por T(f)=g, onde g(t)=integral0^1 k(t, s) f(s) d s e k é uma função contínua em [0,1] times[0,1]. Prove que T é um operador linear contínuo.

Passo 1

O enunciado define um operador
T: C[0,1]to C[0,1]
por
(Tf)(t)=g(t)=integral0^1k(t,s),f(s),ds,
onde k é contínua em [0,1]times[0,1].
Queremos mostrar que
  1. T é linear;
  2. T leva funções contínuas em funções contínuas;
  3. T é contínuo (ou seja, limitado) no espaço l( C[0,1],|cdot|inftyr).

Passo 2

Para a linearidade, tomemos f,hin C[0,1] e escalares a,bin R. Então
T(af+bh)(t) =integral0^1k(t,s)l[a,f(s)+b,h(s)r],ds =aintegral0^1k(t,s)f(s),ds +bintegral0^1k(t,s)h(s),ds =a,(Tf)(t)+b,(Th)(t)
Logo T(af+bh)=a,Tf+b,Th, ou seja, T é linear.

Passo 3

Mostramos agora que Tf é contínua sempre que f for contínua. Como k é contínua em [0,1]^2 e este é compacto, k é uniformemente contínua em (t,s). Dado t0in[0,1] e varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, se |t-t0|<de<a, então l|k(t,s)-k(t0,s)r|<varepsilon/|f|infty para todo s. Assim, para |t-t0|<de<a,
l|(Tf)(t)-(Tf)(t0)r| =l|integral0^1l[k(t,s)-k(t0,s)r],f(s),dsr| <=integral0^1l|k(t,s)-k(t0,s)r|;|f|infty,ds <varepsilon
Logo Tf é contínua em t0. Como t0 era arbitrário, Tfin C[0,1].

Passo 4

Para a continuidade de T no espaço com norma suprema, note que k é contínua num compacto, logo está limitada: existe
M=max(t,s)in[0,1]^2l|k(t,s)r|<infty
Para qualquer fin C[0,1] e todo tin[0,1],
l|(Tf)(t)r| =l|integral0^1k(t,s),f(s),dsr| <=integral0^1l|k(t,s)r|;|f|infty,ds <= M,|f|inftycdot1 =M,|f|infty
Tomando supremo em t, chega-se a
|Tf|infty<= M,|f|infty
Isto mostra que T é limitado (e portanto contínuo) com |T|<= M.

Resposta

T é linear e contínuo em l( C[0,1],|cdot|inftyr), com norma |T|<=max[0,1]^2|k(t,s)|.

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