Mostre que ellp e Lp[0,1] são separáveis se 1 <= p<infty. Sugestão: Use o fato de que as funções contínuas são densas em Lp[0,1] (com a norma p!) se 1 <= p<infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os espaços ellp e Lp[0,1] são separáveis quando 1<= p<infty.
Conteúdo: definição de espaço separável (existe subconjunto denso e contável) e denseness em ellp e em Lp[0,1]. Para Lp[0,1] usamos que as funções contínuas (por exemplo polinômios com coeficientes racionais) são densas na norma |cdot|p.

Passo 2

Definimos em ellp o conjunto
D = l(xn)n=1^infty : xninQ, xn=0 para quase todo nr
Cada elemento de D é uma sequência de suporte finito com coordenadas racionais.

Passo 3

Mostramos que D é contável e denso em ellp.
  1. D é união numerável, para cada kinN, das sequências de suporte em 1,dots,k com valores em Q^k, logo contável.
  2. Densidade: dado x=(xn)inellp e varepsilon>0, escolha N tal que
sumn>N|xn|^p<l(tfracvarepsilon2r)^p
Defina y cortando x no índice N e aproximando cada xn (para n<= N) por qninQ com |xn-qn|<de<a, onde de<a escolhido para que
sumn=1^N|xn-qn|^p<l(tfracvarepsilon2r)^p
Então yin D e
|x-y|p <= l(sumn=1^N|xn-qn|^pr)^1/p + l(sumn>N|xn|^pr)^1/p <tfracvarepsilon2+tfracvarepsilon2 =varepsilon

Passo 4

Em Lp[0,1], consideramos o conjunto de polinômios com coeficientes em Q:
P = lp(x)=a0+a1x+cdots+amx^m: minN, aiinQr
Cada polinômio é continuo em [0,1].

Passo 5

Mostramos que P é contável e denso em Lp[0,1].
  1. P é união numerável de Q^m+1 para m=0,1,2,dots, logo contável.
  2. Densidade: pelo Teorema de Weierstrass, P é denso em C[0,1] para a norma |cdot|infty. Como |varphi|p<=|varphi|infty para varphiin C[0,1] e medida de [0,1] igual a 1, segue que P é denso em Lp[0,1]. Mais precisamente, dado fin Lp[0,1] e varepsilon>0, existe varphiin C[0,1] com |f-varphi|p<varepsilon/2, e então existe pin P com |varphi-p|infty<varepsilon/2, de onde
|f-p|p <= |f-varphi|p+|varphi-p|p < tfracvarepsilon2 + |varphi-p|infty < varepsilon

Resposta

Concluímos que ellp e Lp[0,1] admitem subconjuntos contáveis e densos, logo são espaços separáveis para todo 1<= p<infty.

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