Mostre que
e
são separáveis se
. Sugestão: Use o fato de que as funções contínuas são densas em
(com a norma p!) se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os espaços
e
são separáveis quando
.
Conteúdo: definição de espaço separável (existe subconjunto denso e contável) e denseness em e em
. Para
usamos que as funções contínuas (por exemplo polinômios com coeficientes racionais) são densas na norma
.
Conteúdo: definição de espaço separável (existe subconjunto denso e contável) e denseness em
Passo 2
Definimos em
o conjunto
Cada elemento de
é uma sequência de suporte finito com coordenadas racionais.
Passo 3
Mostramos que
é contável e denso em
.
-
é união numerável, para cada , das sequências de suporte em com valores em , logo contável. - Densidade: dado
e , escolha tal que
Defina
cortando
no índice
e aproximando cada
(para
) por
com
, onde
escolhido para que
Então
e
Passo 4
Em
, consideramos o conjunto de polinômios com coeficientes em
:
Cada polinômio é continuo em
.
Passo 5
Mostramos que
é contável e denso em
.
-
é união numerável de para , logo contável. - Densidade: pelo Teorema de Weierstrass,
é denso em para a norma . Como para e medida de igual a 1, segue que é denso em . Mais precisamente, dado e , existe com , e então existe com , de onde
Resposta
Concluímos que
e
admitem subconjuntos contáveis e densos, logo são espaços separáveis para todo
.