Em cada caso, determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é paralela a reta da equação dada.
A) P(1,2) e 8x + 2y -1 =0
B) P(-4,2) e y -2 =0
C) P(-1,3) e 2x -5y +7 =0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é encontrar a equação de uma reta que passa por um ponto específico e que é paralela a outra reta já dada. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre como identificar retas paralelas. Lembre-se que retas paralelas têm o mesmo “inclinação” ou coeficiente angular. Vamos precisar transformar as equações das retas dadas para identificar esse coeficiente e depois usar o ponto fornecido para encontrar a nova equação da reta paralela.

Passo 2

Item A) P(1,2) e 8x + 2y -1 =0
Primeiro, vamos rearranjar a equação dada para a forma y = mx + b, onde m é o coeficiente angular.
8x + 2y -1 = 0
Isolando y:
2y = -8x +1
y = -4x + 12
Aqui, o coeficiente angular m é -4. Como queremos uma reta paralela, ela também terá m = -4.
Agora, usamos o ponto P(1,2) na equação da reta y = mx + b para encontrar b:
2 = -4(1) + b
2 = -4 + b
b = 6
Então, a equação da reta paralela é:
y = -4x + 6

Passo 3

Item B) P(-4,2) e y -2 =0
A equação y - 2 =0 simplifica para y = 2. Essa é uma reta horizontal, o que significa que seu coeficiente angular m é 0.
Retas paralelas a ela também serão horizontais, ou seja, terão a forma y = constante.
Já que a reta precisa passar pelo ponto (-4,2), a equação será exatamente a mesma:
y = 2

Passo 4

Item C) P(-1,3) e 2x -5y +7 =0
Vamos começar rearranjando a equação para a forma y = mx + b:
2x -5y +7 =0
Isolando y:
-5y = -2x -7
y = 25x + 75
O coeficiente angular m é 25. Como queremos uma reta paralela, ela também terá m = 25.
Agora, usamos o ponto P(-1,3) na equação y = 25x + b para encontrar b:
3 = 25(-1) + b
3 = -25 + b
b = 3 + 25 = 155 + 25 = 175
Então, a equação da reta paralela é:
y = 25x + 175

Resposta

A) y = -4x + 6
B) y = 2
C) y = 25x + 175

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