Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares :
a) 2x + y -2z = 10
3x + 2y +2z = 1
5x + 4y + 3z = 4
b) x + y + z = 1
2x + 5y -2z = -5
x + 2y -7z = -8
a) 2x + y -2z = 10
3x + 2y +2z = 1
5x + 4y + 3z = 4
b) x + y + z = 1
2x + 5y -2z = -5
x + 2y -7z = -8
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando escalonamento. Primeiro, resumindo, temos o sistema:
a)
Vamos precisar de operações com linhas para chegar à forma escalonada e resolver para
x ,
y e
z .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Passo 3
Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (2). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os termos
3x e
5x das linhas 2 e 3.
Passo 4
Vamos multiplicar a primeira linha por
32 e subtrair da segunda linha para eliminar
3x :
Calculando:
Passo 5
Agora, multiplicamos a primeira linha por
52 e subtraímos da terceira linha para eliminar
5x :
Calculando:
Passo 6
Agora, a matriz fica assim:
Vamos simplificar a segunda linha multiplicando por 2 para facilitar:
E a terceira linha multiplicando por 2 também:
Passo 7
Agora, vamos eliminar o termo
3y da terceira linha usando a segunda linha:
Calculando:
Passo 8
A matriz está agora na forma escalonada:
Passo 9
Vamos resolver de baixo para cima. Primeiramente, da terceira equação:
Passo 10
Agora, usando o valor de
z na segunda equação:
Passo 11
Por último, usando
y = 2 e
z = -3 na primeira equação:
Passo 12
Agora, vamos resolver o sistema b):
b)
Usaremos o mesmo método de escalonamento, ou seja, manipular as linhas para chegar à forma escalonada.
Passo 13
Primeiro, montamos a matriz aumentada:
Passo 14
Vamos usar a primeira linha para eliminar os termos
2x e
x das linhas 2 e 3.
Passo 15
Para eliminar
2x da segunda linha, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda:
Calculando:
Passo 16
Para eliminar
x da terceira linha, subtraímos a primeira linha da terceira:
Calculando:
Passo 17
Agora, a matriz fica assim:
Passo 18
Vamos focar na segunda coluna. Queremos zerar o
1 da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por
13 e subtraímos da terceira linha:
Calculando:
Passo 19
A matriz está agora na forma escalonada:
Passo 20
Vamos resolver de baixo para cima. Primeiramente, da terceira equação:
Passo 21
Agora, usando
z = 1 na segunda equação:
Passo 22
Por último, usando
y = -1 e
z = 1 na primeira equação:
Resposta
A solução do sistema é
x = 1 ,
y = -1 e
z = 1 .