Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares :
a) 2x + y -2z = 10
3x + 2y +2z = 1
5x + 4y + 3z = 4
b) x + y + z = 1
2x + 5y -2z = -5
x + 2y -7z = -8

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando escalonamento. Primeiro, resumindo, temos o sistema:
a)
2x + y - 2z = 10 3x + 2y + 2z = 1 5x + 4y + 3z = 4
Vamos precisar de operações com linhas para chegar à forma escalonada e resolver para x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
2 & 1 & -2 & | & 10 3 & 2 & 2 & | & 1 5 & 4 & 3 & | & 4

Passo 3

Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (2). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os termos 3x e 5x das linhas 2 e 3.

Passo 4

Vamos multiplicar a primeira linha por 32 e subtrair da segunda linha para eliminar 3x:
R2 = R2 - 32R1
Calculando:
R2 = [3, 2, 2, |, 1] - 32[2, 1, -2, |, 10] = [0, 12, 5, |, -14]

Passo 5

Agora, multiplicamos a primeira linha por 52 e subtraímos da terceira linha para eliminar 5x:
R3 = R3 - 52R1
Calculando:
R3 = [5, 4, 3, |, 4] - 52[2, 1, -2, |, 10] = [0, 32, 8, |, -21]

Passo 6

Agora, a matriz fica assim:
2 & 1 & -2 & | & 10 0 & 12 & 5 & | & -14 0 & 32 & 8 & | & -21
Vamos simplificar a segunda linha multiplicando por 2 para facilitar:
R2 = 2R2 Rightarrow [0, 1, 10, |, -28]
E a terceira linha multiplicando por 2 também:
R3 = 2R3 Rightarrow [0, 3, 16, |, -42]

Passo 7

Agora, vamos eliminar o termo 3y da terceira linha usando a segunda linha:
R3 = R3 - 3R2
Calculando:
R3 = [0, 3, 16, |, -42] - 3[0, 1, 10, |, -28] = [0, 0, -14, |, 42]

Passo 8

A matriz está agora na forma escalonada:
2 & 1 & -2 & | & 10 0 & 1 & 10 & | & -28 0 & 0 & -14 & | & 42

Passo 9

Vamos resolver de baixo para cima. Primeiramente, da terceira equação:
-14z = 42 Rightarrow z = -3

Passo 10

Agora, usando o valor de z na segunda equação:
y + 10(-3) = -28 Rightarrow y - 30 = -28 Rightarrow y = 2

Passo 11

Por último, usando y = 2 e z = -3 na primeira equação:
2x + 2 - 2(-3) = 10 Rightarrow 2x + 2 + 6 = 10 Rightarrow 2x + 8 = 10 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x = 1

Passo 12

Agora, vamos resolver o sistema b):
b)
x + y + z = 1 2x + 5y - 2z = -5 x + 2y -7z = -8
Usaremos o mesmo método de escalonamento, ou seja, manipular as linhas para chegar à forma escalonada.

Passo 13

Primeiro, montamos a matriz aumentada:
1 & 1 & 1 & | & 1 2 & 5 & -2 & | & -5 1 & 2 & -7 & | & -8

Passo 14

Vamos usar a primeira linha para eliminar os termos 2x e x das linhas 2 e 3.

Passo 15

Para eliminar 2x da segunda linha, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda:
R2 = R2 - 2R1
Calculando:
R2 = [2, 5, -2, |, -5] - 2[1, 1, 1, |, 1] = [0, 3, -4, |, -7]

Passo 16

Para eliminar x da terceira linha, subtraímos a primeira linha da terceira:
R3 = R3 - R1
Calculando:
R3 = [1, 2, -7, |, -8] - [1, 1, 1, |, 1] = [0, 1, -8, |, -9]

Passo 17

Agora, a matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 3 & -4 & | & -7 0 & 1 & -8 & | & -9

Passo 18

Vamos focar na segunda coluna. Queremos zerar o 1 da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 13 e subtraímos da terceira linha:
R3 = R3 - 13R2
Calculando:
R3 = [0, 1, -8, |, -9] - 13[0, 3, -4, |, -7] = [0, 0, -203, |, -203]

Passo 19

A matriz está agora na forma escalonada:
1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 3 & -4 & | & -7 0 & 0 & -203 & | & -203

Passo 20

Vamos resolver de baixo para cima. Primeiramente, da terceira equação:
-203z = -203 Rightarrow z = 1

Passo 21

Agora, usando z = 1 na segunda equação:
3y - 4(1) = -7 Rightarrow 3y - 4 = -7 Rightarrow 3y = -3 Rightarrow y = -1

Passo 22

Por último, usando y = -1 e z = 1 na primeira equação:
x + (-1) + 1 = 1 Rightarrow x = 1

Resposta

A solução do sistema é x = 1, y = -1 e z = 1.

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