Em cada caso, determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f, no ponto cuja abscissa é fornecida.
f(x)=\sqrt{x}, x=3.

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f(x)=\sqrt{x} no ponto cuja abscissa é x=3.
Para isso vamos precisar de:
  1. O valor de f(3).
  2. A derivada f'(x) e seu valor em x=3.
  3. A fórmula ponto-inclinação para retas, tanto para a tangente quanto para a normal.

Passo 2

Calcular o ponto de tangência.
Como f(x)=\sqrt{x}, temos
f(3)=\sqrt{3}\,.
Portanto o ponto é \bigl(3,\sqrt{3}\bigr).

Passo 3

Encontrar a derivada e sua inclinação em x=3.
A derivada de f é
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Em x=3 isso vale
f'(3)=\frac{1}{2\sqrt{3}}.

Passo 4

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação
y - y_0 = m\,(x - x_0),
onde \bigl(x_0,y_0\bigr)=(3,\sqrt{3}) e m=f'(3)=\tfrac{1}{2\sqrt{3}}. Logo
y - \sqrt{3} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\,(x - 3).

Passo 5

Determinar a reta normal.
A inclinação da normal é o negativo do inverso da da tangente, isto é
m_{\text{normal}}=-\frac{1}{m}=-2\sqrt{3}.
Aplicando novamente a forma ponto-inclinação em \bigl(3,\sqrt{3}\bigr), obtemos
y - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}\,(x - 3).

Resposta

Reta tangente:
y - \sqrt{3} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\,(x - 3).
Reta normal:
y - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}\,(x - 3).

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