Em cada caso, encontre a derivada da função y=f(x), usando a definição.
y=2 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de y=f(x)=2x^{3} usando a definição de derivada. O conteúdo aqui é cálculo diferencial, mais precisamente a interpretação de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Pela definição, a derivada de f em x é
f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

Passo 3

Vamos calcular a diferença f(x+h)-f(x). Primeiro expandimos f(x+h):
f(x+h) = 2\,(x+h)^{3} = 2\bigl(x^{3} + 3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3}\bigr).
Subtraindo f(x)=2x^{3}, obtemos
f(x+h)-f(x) = 2x^{3} + 6x^{2}h + 6xh^{2} + 2h^{3} - 2x^{3} = 6x^{2}h + 6xh^{2} + 2h^{3}.

Passo 4

Formamos o quociente incremental e simplificamos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{6x^{2}h + 6xh^{2} + 2h^{3}}{h} = 6x^{2} + 6xh + 2h^{2}.

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x) = \lim_{h\to 0}\bigl(6x^{2} + 6xh + 2h^{2}\bigr) = 6x^{2}.

Resposta

A derivada de y=2x^{3} é
f'(x)=6x^{2}.

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