Em cada caso, determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f, no ponto cuja abscissa é fornecida.
f(x)=x^{2 / 3}, x=8

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f(x)=x^{2/3} no ponto de abscissa x=8. O conteúdo aqui é derivada de potência e equação de reta a partir do coeficiente angular.

Passo 2

Derivando f(x)=x^{2/3} pela regra (x^n)'=n\,x^{n-1}, temos
f'(x)=\frac{2}{3}\,x^{-1/3}.

Passo 3

Avaliaremos f e f' em x=8. Primeiro,
f(8)=8^{2/3}=\bigl(\sqrt[3]{8}\bigr)^2=2^2=4.
Em seguida,
f'(8)=\frac{2}{3}\,8^{-1/3}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.
Logo, o ponto de tangência é \bigl(8,4\bigr) e a inclinação da tangente é m_{\mathrm{t}}=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

A equação da reta tangente, usando y-y_0=m_{\mathrm{t}}(x-x_0), fica
y-4=\frac{1}{3}(x-8),
ou, isolando y,
y=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}.

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular m_{\mathrm{n}}=-1/m_{\mathrm{t}}=-3 e passa pelo mesmo ponto (8,4). Logo,
y-4=-3(x-8),
que simplifica para
y=-3x+28.

Resposta

Tangente: \displaystyle y-4=\tfrac{1}{3}(x-8), ou y=\tfrac{1}{3}x+\tfrac{4}{3}.
Normal: \displaystyle y-4=-3(x-8), ou y=-3x+28.

Exercícios relacionados