Em cada caso, determine se f é contínua em x=1 e se f é diferenciável em x=1 :
f(x)=ll3-x1^2, & se x<1 raizxraizx, & se x >= 1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = 3 - x1^2, & se x < 1 raizxraizx, & se x >= 1
Precisamos verificar se $ f $ é contínua e diferenciável em $ x = 1 $. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e diferenciabilidade em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Note que:
Para $ x < 1 $:
x < 1
Para $ x \geq 1 $:
f(x) = 3 - x1^2 = 3 - x
Então, nossa função fica:
x >= 1

Passo 3

Para verificar a continuidade em $ x = 1 $, devemos garantir que:
  1. $ f(1) $ está definida.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite pela direita.
  3. Esses limites são iguais ao valor de $ f(1) $.
Vamos calcular cada um desses.

Passo 4

Primeiro, $ f(1) $:
Como $ x = 1 $ está na segunda parte da função ($ x \geq 1 $):
f(1)

Passo 5

Agora, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^- $):
Para $ x < 1 $, $ f(x) = 3 - x $. Então:
f(x)

Passo 6

Em seguida, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \to 1^+ $):
Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = 1 $. Então:
f(x)

Passo 7

Comparando os limites:
  • $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 $
  • $ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 $
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, o limite geral de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 não existe.

Passo 8

Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 não existe e os limites laterais são diferentes, a função $ f $ não é contínua em $ x = 1 $.

Passo 9

Já que a continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, se a função não é contínua em $ x = 1 $, ela também não pode ser diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função $ f $ não é contínua em $ x = 1 $ e, consequentemente, não é diferenciável nesse ponto.

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