Em cada caso, determine se
é contínua em
e se
é diferenciável em
:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos verificar se $ f $ é contínua e diferenciável em $ x = 1 $. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e diferenciabilidade em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Note que:
Para $ x < 1 $:
Para $ x \geq 1 $:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Para verificar a continuidade em $ x = 1 $, devemos garantir que:
- $ f(1) $ está definida.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite pela direita.
- Esses limites são iguais ao valor de $ f(1) $.
Vamos calcular cada um desses.
Passo 4
Primeiro, $ f(1) $:
Como $ x = 1 $ está na segunda parte da função ($ x \geq 1 $):
Passo 5
Agora, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^- $):
Para $ x < 1 $, $ f(x) = 3 - x $. Então:
Passo 6
Em seguida, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \to 1^+ $):
Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = 1 $. Então:
Passo 7
Comparando os limites:
- $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 $
- $ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 $
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, o limite geral de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 não existe.
Passo 8
Como o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 não existe e os limites laterais são diferentes, a função $ f $ não é contínua em $ x = 1 $.
Passo 9
Já que a continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, se a função não é contínua em $ x = 1 $, ela também não pode ser diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função $ f $ não é contínua em $ x = 1 $ e, consequentemente, não é diferenciável nesse ponto.