O gráfico da equação 9 x^2+4 y^2-9 z^2-18 x-36 z+9=0 é um(a)
(A) Hiperboloide de duas folhas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação 9x^2 + 4y^2 - 9z^2 - 18x - 36z + 9 = 0 e precisamos identificar qual tipo de superfície quadrática ela representa. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as quadricas como elipsoides, hiperboloides, etc.

Passo 2

Vamos simplificar a equação para identificar melhor a forma da superfície. Primeiro, agrupamos os termos semelhantes:
9x^2 - 18x + 4y^2 - 9z^2 - 36z + 9 = 0

Passo 3

Agora, completamos o quadrado para as variáveis x e z. Para x:
9x^2 - 18x = 9(x^2 - 2x) = 9[(x - 1)^2 - 1] = 9(x - 1)^2 - 9
Para z:
-9z^2 - 36z = -9(z^2 + 4z) = -9[(z + 2)^2 - 4] = -9(z + 2)^2 + 36

Passo 4

Substituindo esses resultados na equação original:
9(x - 1)^2 - 9 + 4y^2 - 9(z + 2)^2 + 36 + 9 = 0
Simplificando:
9(x - 1)^2 + 4y^2 - 9(z + 2)^2 + 36 = 0
Subtraindo 36 de ambos os lados:
9(x - 1)^2 + 4y^2 - 9(z + 2)^2 = -36

Passo 5

Dividimos toda a equação por -36:
-9(x - 1)^236 - 4y^236 + 9(z + 2)^236 = 1
Simplificando os coeficientes:
-(x - 1)^24 - y^29 + (z + 2)^24 = 1

Passo 6

A equação resultante se assemelha à forma padrão de um hiperboloide de duas folhas:
-(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 + (z - l)^2c^2 = 1
Onde h = 1, k = 0, l = -2, a = 2, b = 3 e c = 2.

Resposta

O gráfico da equação 9x^2 + 4y^2 - 9z^2 - 18x - 36z + 9 = 0 é um Hiperboloide de duas folhas.

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