Sejam f e g funções que satisfazem f(3)=pi4, f^prime(3)=4, g(3)=-2, g^prime(3)=-1. Se
h(x)=g(x) raizcos (f(x))
calcule h^prime(3).

Passo 1

O enunciado dá as funções f e g com os valores em x=3: f(3)= tfracpi4, f’(3)= 4, g(3)= -2, g’(3)= -1. Queremos h’(3) onde h(x)=g(x)raizcos(f(x)). Vamos usar regra do produto e regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Aplicando a regra do produto e cadeia, temos:
h'(x)=g'(x)raizcos(f(x))+g(x)cdotddxl(raizcos(f(x))r)

Passo 3

Agora derivamos raizcos(f(x)) usando ddxraizu=12raizuu' e ddxcos(f(x))=-sin(f(x))f'(x). Então:
ddxl(raizcos(f(x))r)=12raizcos(f(x))cdot(-sin(f(x)))cdot f'(x)

Passo 4

Substituindo em h’(x) e avaliando em x=3, usando cos(tfracpi4)=tfracraiz22, sin(tfracpi4)=tfracraiz22:
h'(3)=(-1)raiztfracraiz22+(-2)cdot12raiztfracraiz22cdotl(-tfracraiz22r)cdot4

Passo 5

Calculando cada parcela: raiztfracraiz22=2^-1/4 e o segundo termo fica 2^7/4. Assim
h'(3)=-2^-1/4+2^7/4=3,2^-1/4

Resposta

3raiz[4]2

Exercícios relacionados