\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}\,(-1)^n\frac{1}{4^n} = x \sum_{n=0}^{\infty} \left((-1)^n\frac{x^{2n}}{4^n}\right) = x \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{x^2}{4}\right)^{n}.
A partir daqui fica claro que dentro da soma temos uma série geométrica com razão
r = -\frac{x^2}{4}.
Passo 3
Mini-aula sobre série geométrica e critério de convergência:
A série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge se, e somente se, |r|<1.
Raciocínio rápido: a soma parcial é \sum_{n=0}^{N} r^n = \dfrac{1-r^{N+1}}{1-r} (para r\neq1). Se |r|<1, então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, e a soma completa vale \dfrac{1}{1-r}. Se |r|\ge1, a sequência r^n não tende a zero e a série diverge (condição necessária para convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero).
Aqui, o fator externo x não afeta o critério: a série x\sum r^n converge exatamente quando \sum r^n converge.
Passo 4
Aplicando o critério ao nosso r = -\dfrac{x^2}{4}:
O termo geral é 2(-1)^n, cuja sequência não tende a zero (oscila entre 2 e -2). Como necessário para convergência é que o termo geral tenda a zero, concluímos que a série diverge em x=2.
Passo 7
Caso x=-2: substituímos na série original.
Termo geral:
\frac{(-2)^{2n+1}}{(-4)^n}.
Note que (-2)^{2n+1} = (-2)\cdot((-2)^{2})^{n} = (-2)\cdot 4^{n}. Assim
Novamente o termo geral alterna entre 2 e -2 (não tende a zero), logo a série diverge em x=-2.
Passo 8
Conclusão final: a série converge exatamente para os x tais que |x|<2, isto é, no intervalo aberto (-2,2). Nos pontos finais x=\pm2 a série diverge porque o termo geral não tende a zero. Força aí — o resultado é simples e importante: reconhecer a forma geométrica foi a chave.