Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(-4)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(-4)^{n}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável da série é x.
  • Os expoentes de x são da forma 2n+1, ou seja, aparecem apenas potências ímpares de x.
  • O denominador é (-4)^{n}.
  • A série é centrada em 0 (não há termos como (x-a)^n com a\neq0).
    A tarefa é achar todos os valores de x para os quais a série converge.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do termo geral para enxergar um padrão. Primeiro observe que
\frac{1}{(-4)^n} = \frac{1}{(-1)^n 4^n} = (-1)^n \frac{1}{4^n}.
Substituindo na série obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(-4)^n} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}\,(-1)^n\frac{1}{4^n}.
Agora fatoramos x e reagrupamos potências:
\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}\,(-1)^n\frac{1}{4^n} = x \sum_{n=0}^{\infty} \left((-1)^n\frac{x^{2n}}{4^n}\right) = x \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{x^2}{4}\right)^{n}.
A partir daqui fica claro que dentro da soma temos uma série geométrica com razão
r = -\frac{x^2}{4}.

Passo 3

Mini-aula sobre série geométrica e critério de convergência:
  • A série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge se, e somente se, |r|<1.
  • Raciocínio rápido: a soma parcial é \sum_{n=0}^{N} r^n = \dfrac{1-r^{N+1}}{1-r} (para r\neq1). Se |r|<1, então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, e a soma completa vale \dfrac{1}{1-r}. Se |r|\ge1, a sequência r^n não tende a zero e a série diverge (condição necessária para convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero).
  • Aqui, o fator externo x não afeta o critério: a série x\sum r^n converge exatamente quando \sum r^n converge.

Passo 4

Aplicando o critério ao nosso r = -\dfrac{x^2}{4}:
\left|-\frac{x^2}{4}\right| < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^2}{4} < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 < 4.
Portanto a condição de convergência é |x|<2. Isso nos dá o intervalo aberto (-2,2) e o raio de convergência R=2, centro 0.

Passo 5

Precisamos examinar os extremos \,x=2 e \,x=-2 separadamente (porque a condição |x|<2 não nos diz o que acontece exatamente em |x|=2).

Passo 6

Caso x=2: substituímos na série original.
Termo geral:
\frac{2^{2n+1}}{(-4)^n}.
Observe que 2^{2n+1} = 2\cdot(2^{2})^{n} = 2\cdot 4^{n}. Assim
\frac{2^{2n+1}}{(-4)^n} = \frac{2\cdot 4^{n}}{(-1)^n 4^{n}} = 2\cdot \frac{1}{(-1)^n} = 2(-1)^n.
O termo geral é 2(-1)^n, cuja sequência não tende a zero (oscila entre 2 e -2). Como necessário para convergência é que o termo geral tenda a zero, concluímos que a série diverge em x=2.

Passo 7

Caso x=-2: substituímos na série original.
Termo geral:
\frac{(-2)^{2n+1}}{(-4)^n}.
Note que (-2)^{2n+1} = (-2)\cdot((-2)^{2})^{n} = (-2)\cdot 4^{n}. Assim
\frac{(-2)^{2n+1}}{(-4)^n} = \frac{(-2)\cdot 4^{n}}{(-1)^n 4^{n}} = (-2)\cdot \frac{1}{(-1)^n} = (-2)(-1)^n.
Novamente o termo geral alterna entre 2 e -2 (não tende a zero), logo a série diverge em x=-2.

Passo 8

Conclusão final: a série converge exatamente para os x tais que |x|<2, isto é, no intervalo aberto (-2,2). Nos pontos finais x=\pm2 a série diverge porque o termo geral não tende a zero. Força aí — o resultado é simples e importante: reconhecer a forma geométrica foi a chave.

Resposta

(-2,2)

Exercícios relacionados