Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots(2 n-1) \cdot x^{2 n-1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots(2 n)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)\,x^{2n-1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots(2n)}.
Informações dadas (explicitando o que aparece no termo geral):
\text{o numerador é }1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)=(2n-1)!!, \qquad \text{o denominador é }2\cdot 4\cdot 6\cdots(2n)=(2n)!!.éé
A pergunta é: para quais valores de x essa série converge? (ou seja, qual o intervalo de convergência, centro em 0 presumivelmente).

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de forma mais manejável. Usamos as identidades de duplo fatorial:
(2n)!!=2^{n}n!,\qquad (2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}.
Explicando rápido: (2n)!! é o produto dos pares até 2n, por isso cada um dos n fatores fornece um 2 multiplicando n!, logo (2n)!!=2^n n!. A expressão para (2n-1)!! vem da relação (2n)!=(2n)!!(2n-1)!! resolvida para (2n-1)!!.
Substituindo no termo geral:
\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{\dfrac{(2n)!}{2^{n}n!}}{2^{n}n!}=\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}=\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}.
Portanto o n-ésimo termo da série é
a_n=\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}\,x^{2n-1}.

Passo 3

Para séries de potências o teste da razão é o mais direto para encontrar o raio de convergência. Vou lembrar a regra do teste da razão: dada uma série com termos a_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe, então a série converge se L<1, diverge se L>1, e o teste é inconclusivo se L=1. Aplicamos isso ao nosso a_n.

Passo 4

Calculemos a razão \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Usando a forma com binomial:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\left|\frac{\dfrac{1}{4^{\,n+1}}\binom{2n+2}{n+1}x^{2n+1}}{\dfrac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}x^{2n-1}}\right| =\frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}}\cdot\frac{1}{4}\cdot |x|^{2}.
Agora simplificamos a razão dos binomiais:
\frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}} =\frac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}}{\dfrac{(2n)!}{n!n!}} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}.
Substituindo:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^{2}}\,|x|^{2} =\frac{2(n+1)(2n+1)}{4(n+1)^{2}}\,|x|^{2} =\frac{2n+1}{2(n+1)}\,|x|^{2}.

Passo 5

Tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2(n+1)}\,|x|^{2}=1\cdot |x|^{2}=|x|^{2}.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é se |x|^{2}<1, ou seja
|x|<1.
E diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência possível é contido em (-1,1). Agora falta analisar os pontos extremos x=1 e x=-1 (teste da razão foi inconclusivo nesses pontos, pois L=1).

Passo 6

Teste em x=1. Substituindo x=1 no termo geral obtém-se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}.
Para verificar convergência usamos o comportamento assintótico do coeficiente central. Pela fórmula de Stirling (ou resultado clássico sobre o coeficiente central),
\binom{2n}{n}\sim\frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}\quad\text{quando }n\to\infty.
Então
\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}.
Como a série harmônica p- série \sum n^{-1/2} diverge (p = 1/2 \le 1), pela comparação assintótica a série em x=1 diverge. Em palavras: os termos da série em x=1 decaem apenas como uma constante sobre \sqrt{n}, o que não é suficiente para somabilidade.

Passo 7

Teste em x=-1. Substituindo x=-1 temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}(-1)^{2n-1}.
Mas 2n-1 é ímpar, logo (-1)^{2n-1}=-1 para todo n. Portanto a série em x=-1 é simplesmente o negativo da série em x=1:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n},
e como a série positiva anterior diverge, esta também diverge (não há cancelamento alternado: o sinal é constante). Logo diverge em x=-1.

Passo 8

Conclusão final: a série converge exatamente para |x|<1 e diverge para |x|\ge 1. Em notação de intervalo de convergência, o intervalo é (-1,1).

Resposta

(-1,1)

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