Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots(2 n-1) \cdot x^{2 n-1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots(2 n)}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
Explicando rápido: (2n)!! é o produto dos pares até 2n, por isso cada um dos n fatores fornece um 2 multiplicando n!, logo (2n)!!=2^n n!. A expressão para (2n-1)!! vem da relação (2n)!=(2n)!!(2n-1)!! resolvida para (2n-1)!!.
Para séries de potências o teste da razão é o mais direto para encontrar o raio de convergência. Vou lembrar a regra do teste da razão: dada uma série com termos a_n, se
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é se |x|^{2}<1, ou seja
|x|<1.
E diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência possível é contido em (-1,1). Agora falta analisar os pontos extremos x=1 e x=-1 (teste da razão foi inconclusivo nesses pontos, pois L=1).
Passo 6
Teste em x=1. Substituindo x=1 no termo geral obtém-se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}\binom{2n}{n}.
Para verificar convergência usamos o comportamento assintótico do coeficiente central. Pela fórmula de Stirling (ou resultado clássico sobre o coeficiente central),
Como a série harmônica p- série \sum n^{-1/2} diverge (p = 1/2 \le 1), pela comparação assintótica a série em x=1 diverge. Em palavras: os termos da série em x=1 decaem apenas como uma constante sobre \sqrt{n}, o que não é suficiente para somabilidade.