A igualdade é uma série infinita para \ln x escrita como soma de potências de (x-2).
O intervalo 0<x<4 sugere que a expansão foi feita em torno de x=2 e tem raio de convergência 2 (pois 2\pm2 dá 0 e 4).
Não começamos a desenvolver ainda; só listei o que precisamos provar.
Passo 2
Lembra da série geométrica básica: para qualquer número t com |t|<1 vale
\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{n}.
Explicação didática: essa é a soma da série geométrica com razão -t. A soma finita 1+(-t)+(-t)^2+\dots+(-t)^N tem fórmula \frac{1-(-t)^{N+1}}{1-(-t)}. Quando N\to\infty e |t|<1 o termo (-t)^{N+1}\to0, sobrando \frac{1}{1+t}. Essa igualdade é a base que usaremos.
Passo 3
Vamos transformar a série para obter uma expansão para \ln(1+u). Tome u com |u|<1. Integramos a igualdade da série geométrica em t de 0 até u:
Por que podemos trocar integral e soma? Porque a série da direita converge uniformemente em qualquer intervalo fechado contido em (-1,1), por exemplo em [-r,r] com r<1; então a integração termo a termo é permitida. Esse é um fato padrão sobre séries de funções.
Passo 4
Calcule diretamente as integrais: a integral do lado esquerdo é
Comentário final e dica para prova: a ideia-chave é lembrar a série de \dfrac{1}{1+t} (geométrica) e integrá-la para obter \ln(1+u). Em provas, fazer a substituição x=2(1+u) é uma técnica comum para centrar a expansão em x=2. Verifique sempre a condição |u|<1 para justificar validade da série — aqui ela dá exatamente 0<x<4, que aparece no enunciado. Força aí — esse tipo de expansão costuma cair direto se você lembrar dessa receita.