Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede para determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais valores de
essa série converge). Informações relevantes que já temos do enunciado:
O objetivo é achar todos os
(ou complexos, se quiser) para os quais a soma infinita converge.
Passo 2
Reconhecer o tipo da série. Vou mostrar que essa é uma série geométrica (ou que se reduz a uma). Lembra da definição básica: uma série geométrica tem a forma
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum. Essa série converge exatamente quando
, e então sua soma é
Vou justificar rapidamente por que isso é verdade: o somatório parcial até
é
Se
, então
quando
, e assim
. Se
, em geral
não tende a zero e a série não converge.
Passo 3
Colocar a série dada na forma geométrica. Observe que
Logo
Então é uma série geométrica com razão
(e primeiro termo do somando interno igual a
). Pelo critério da série geométrica, ela converge exatamente quando
Portanto a condição interior para convergência é
. Além disso, quando
podemos escrever a soma:
mas atenção: essa expressão válida somente para
.
Passo 4
Verificação nos extremos do intervalo
, isto é, testar
e
.
- Para
: o termo geral vira
Os somatórios parciais oscilam entre
e
e os termos
não tendem a zero (eles alternam entre
e
em módulo). Um teorema básico diz que, se uma série converge, seu termo geral deve tender a zero. Como
, a série diverge em
.
- Para
: o termo geral vira
Então todos os termos são iguais a
, claramente não tendem a zero, e a soma parcial diverge (vai para
em soma parcial crescente), portanto a série diverge em
.
Conclusão: os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.
Passo 5
Opcional — checagem pelo teste da razão (rápido e útil em provas). Considere os módulos dos termos
. Então
Pelo teste da razão, a série de
(ou seja, a série absoluta) converge se
e diverge se
; isso confirma que o raio de convergência é
. (Os casos
precisam ser verificados separadamente, o que fiz no passo anterior.)