Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n}
e pede para determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais valores de x essa série converge). Informações relevantes que já temos do enunciado:
\text{termo geral } a_n = (-1)^{n+1} x^{n}.
O objetivo é achar todos os x\in\mathbb{R} (ou complexos, se quiser) para os quais a soma infinita converge.

Passo 2

Reconhecer o tipo da série. Vou mostrar que essa é uma série geométrica (ou que se reduz a uma). Lembra da definição básica: uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n},
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum. Essa série converge exatamente quando |r|<1, e então sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n}=\frac{a}{1-r}.
Vou justificar rapidamente por que isso é verdade: o somatório parcial até N é
S_N=a+a r+\dots+a r^{N}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, e assim S_N\to a/(1-r). Se |r|\ge1, em geral r^{N+1} não tende a zero e a série não converge.

Passo 3

Colocar a série dada na forma geométrica. Observe que
(-1)^{n+1} x^{n} = -(-1)^{n} x^{n} = -\bigl((-x)^{n}\bigr).
Logo
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n} = -\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n}.
Então é uma série geométrica com razão r=-x (e primeiro termo do somando interno igual a 1). Pelo critério da série geométrica, ela converge exatamente quando
|r|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |{-}x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Portanto a condição interior para convergência é |x|<1. Além disso, quando |x|<1 podemos escrever a soma:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n} = -\frac{1}{1-(-x)} = -\frac{1}{1+x},
mas atenção: essa expressão válida somente para |x|<1.

Passo 4

Verificação nos extremos do intervalo |x|<1, isto é, testar x=1 e x=-1.
  • Para x=1: o termo geral vira
a_n = (-1)^{n+1}\cdot 1^{n}=(-1)^{n+1}.
Os somatórios parciais oscilam entre -1 e 0 e os termos a_n não tendem a zero (eles alternam entre -1 e 1 em módulo). Um teorema básico diz que, se uma série converge, seu termo geral deve tender a zero. Como a_n\not\to0, a série diverge em x=1.
  • Para x=-1: o termo geral vira
a_n = (-1)^{n+1}\cdot(-1)^{n}=(-1)^{2n+1}= -1.
Então todos os termos são iguais a -1, claramente não tendem a zero, e a soma parcial diverge (vai para -\infty em soma parcial crescente), portanto a série diverge em x=-1.
Conclusão: os extremos não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 5

Opcional — checagem pelo teste da razão (rápido e útil em provas). Considere os módulos dos termos b_n=|a_n|=|x|^{n}. Então
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n+1}}{|x|^{n}}=|x|.
Pelo teste da razão, a série de b_n (ou seja, a série absoluta) converge se |x|<1 e diverge se |x|>1; isso confirma que o raio de convergência é 1. (Os casos |x|=1 precisam ser verificados separadamente, o que fiz no passo anterior.)

Resposta

(-1,1)

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