Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}}.
Informações dadas:
\text{termos gerais: }\frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}},\quad n=1,2,3,\dots
Pergunta clara: para quais valores de x essa série converge (intervalo de convergência)?

Passo 2

Primeiro simplificamos o índice para ficar no formato padrão de série de potências centrada em -5. Faço a mudança k=n-1. Então a série fica
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x+5)^{k}}{(k+1)^{2}}.
É conveniente escrever assim porque agora é uma série da forma
\sum_{k=0}^{\infty} c_k (x+5)^k
com
c_k=\frac{1}{(k+1)^{2}}.
Para achar o raio de convergência R de uma série de potências \sum c_k (x-a)^k usamos a fórmula (baseada no teste da raiz):
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|c_k|}}.
Aqui a é o centro da série (no nosso caso a=-5) e c_k são os coeficientes. Vou calcular esse \limsup.

Passo 3

Calculo \displaystyle\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|c_k|} com c_k=(k+1)^{-2}:
\sqrt[k]{|c_k|}=\sqrt[k]{(k+1)^{-2}}=(k+1)^{-2/k}.
Como \displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{2}{k}=0, temos
\lim_{k\to\infty}(k+1)^{-2/k}=1.
Uma maneira intuitiva de ver: para qualquer sequência positiva a_k que cresce polinomialmente, a_k^{1/k}\to 1. Assim
\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|c_k|}=1.
Logo o raio de convergência é
R=\frac{1}{1}=1.
Isto significa que a série converge absolutamente para todos os x tais que
|x+5|<1,
ou seja no intervalo aberto (-6,-4). Agora precisamos testar os pontos extremos x=-6 e x=-4.

Passo 4

Testo x=-4. Nesse ponto x+5=1 e a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{\,n-1}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Esta é a famosa série p-série com p=2. O teste do p-série diz: \sum 1/n^{p} converge se e somente se p>1. Como 2>1, a série converge (na verdade converge absolutamente). Portanto x=-4 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Testo x=-6. Nesse ponto x+5=-1 e a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}.
Tomando valores absolutos obtemos \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}, que novamente converge (p-série com p=2). Portanto a série em x=-6 converge absolutamente (e, consequentemente, converge). Logo x=-6 também pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Juntando tudo: a série converge absolutamente para |x+5|<1 e também converge nos dois extremos |x+5|=1. Assim o intervalo de convergência é o intervalo fechado centrado em -5 com raio 1.

Resposta

\;[-6,-4]

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