Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
Informações dadas:
Pergunta clara: para quais valores de
essa série converge (intervalo de convergência)?
Passo 2
Primeiro simplificamos o índice para ficar no formato padrão de série de potências centrada em
. Faço a mudança
. Então a série fica
É conveniente escrever assim porque agora é uma série da forma
com
Para achar o raio de convergência
de uma série de potências
usamos a fórmula (baseada no teste da raiz):
Aqui
é o centro da série (no nosso caso
) e
são os coeficientes. Vou calcular esse
.
Passo 3
Calculo
com
:
Como
, temos
Uma maneira intuitiva de ver: para qualquer sequência positiva
que cresce polinomialmente,
. Assim
Logo o raio de convergência é
Isto significa que a série converge absolutamente para todos os
tais que
ou seja no intervalo aberto
. Agora precisamos testar os pontos extremos
e
.
Passo 4
Testo
. Nesse ponto
e a série torna-se
Esta é a famosa série
-série com
. O teste do
-série diz:
converge se e somente se
. Como
, a série converge (na verdade converge absolutamente). Portanto
pertence ao intervalo de convergência.
Passo 5
Testo
. Nesse ponto
e a série torna-se
Tomando valores absolutos obtemos
, que novamente converge (p-série com
). Portanto a série em
converge absolutamente (e, consequentemente, converge). Logo
também pertence ao intervalo de convergência.
Passo 6
Juntando tudo: a série converge absolutamente para
e também converge nos dois extremos
. Assim o intervalo de convergência é o intervalo fechado centrado em
com raio
.