Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n} x^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sqrt{n}\,x^{n}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral da série é \dfrac{\sqrt{n}\,x^n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}.
  • O denominador é o produto dos números ímpares desde 1 até 2n+1; isto é, o fatorial duplo ímpar (2n+1)!!.
  • A série é uma série de potências em x; queremos o conjunto de x\in\mathbb{R} para o qual a soma converge.

Passo 2

Primeiro eu te explico a ferramenta que vamos usar: o teste da razão (ou de d’Alembert). Ele diz o seguinte para uma série de termos a_n\) reais ou complexos: \[\text{se }\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L, \begin{cases} \text{se }L<1\text{ a série converge absolutamente},\\\ \text{se }L>1\text{ a série diverge},\\\ \text{se }L=1\text{ o teste é inconclusivo.} \end{cases}
Aqui a_n\] é o termo geral (já incluindo a potência \(x^n quando for o caso). O teste da razão é ótimo quando aparecem fatoriais ou produtos como o nosso, porque as fatoriais se simplificam bem no quociente a_{n+1}/a_n.

Passo 3

Vamos reescrever o denominador usando uma fórmula útil: para inteiro n\ge0,
(2n+1)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)=\frac{(2n+1)!}{2^n n!}.
(Explicação rápida: multiplicando e dividindo (2n+1)! pelos fatores pares 2\cdot4\cdot\cdots\cdot2n=2^n n! obtemos exatamente essa identidade.)
Usando essa identidade, o termo geral a_n (com a_n incluindo x^n) fica
a_n=\frac{\sqrt{n}\,x^n}{(2n+1)!!}=\sqrt{n}\,x^n\cdot\frac{2^n n!}{(2n+1)!}.

Passo 4

Agora calculamos o quociente \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| e simplificamos passo a passo.
Começando por escrever a_{n+1} e dividir por a_n:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\sqrt{n+1}\,|x|^{\,n+1}\cdot 2^{\,n+1}(n+1)!/(2n+3)!} {\sqrt{n}\,|x|^{\,n}\cdot 2^{\,n}n!/(2n+1)!}.
Agora cancelamos fatores iguais:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =|x|\cdot\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\cdot 2\cdot\frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}.
Simplificando os fatoriais (n+1)!/n!=n+1 e (2n+1)!/(2n+3)!=\dfrac{1}{(2n+3)(2n+2)}, obtemos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =|x|\cdot\sqrt{\frac{n+1}{n}}\cdot 2\cdot (n+1)\cdot\frac{1}{(2n+3)(2n+2)}.

Passo 5

Vamos estudar o limite quando n\to\infty. Observe que \sqrt{\dfrac{n+1}{n}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}\to1. Focando na parte restante:
\frac{2(n+1)}{(2n+3)(2n+2)}
podemos comparar por uma desigualdade simples: para n\ge0,
\frac{2(n+1)}{(2n+3)(2n+2)}\le \frac{2(n+1)}{(2n+2)(2n+2)} = \frac{2(n+1)}{4(n+1)^2}=\frac{1}{2(n+1)}.
Essa última quantidade tende a 0 quando n\to\infty. Portanto a fração original também tende a 0. Multiplicando pelos outros fatores que tendem a constantes (ou 1), obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =|x|\cdot 1 \cdot 0 = 0.
Logo o limite L=0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Pelo teste da razão, se L<1 a série converge absolutamente. Aqui encontramos L=0<1 para qualquer x fixo. Isso significa que a série converge absolutamente para todo número real x. Em termos de série de potências, isso equivale a dizer que o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real.

Resposta

(-\infty,\infty)

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