O termo geral da série é \dfrac{\sqrt{n}\,x^n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}.
O denominador é o produto dos números ímpares desde 1 até 2n+1; isto é, o fatorial duplo ímpar (2n+1)!!.
A série é uma série de potências em x; queremos o conjunto de x\in\mathbb{R} para o qual a soma converge.
Passo 2
Primeiro eu te explico a ferramenta que vamos usar: o teste da razão (ou de d’Alembert). Ele diz o seguinte para uma série de termos a_n\) reais ou complexos:
\[\text{se }\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L, \begin{cases} \text{se }L<1\text{ a série converge absolutamente},\\\ \text{se }L>1\text{ a série diverge},\\\ \text{se }L=1\text{ o teste é inconclusivo.} \end{cases}
Aqui a_n\] é o termo geral (já incluindo a potência \(x^n quando for o caso). O teste da razão é ótimo quando aparecem fatoriais ou produtos como o nosso, porque as fatoriais se simplificam bem no quociente a_{n+1}/a_n.
Passo 3
Vamos reescrever o denominador usando uma fórmula útil: para inteiro n\ge0,
Essa última quantidade tende a 0 quando n\to\infty. Portanto a fração original também tende a 0. Multiplicando pelos outros fatores que tendem a constantes (ou 1), obtemos
Pelo teste da razão, se L<1 a série converge absolutamente. Aqui encontramos L=0<1 para qualquer x fixo. Isso significa que a série converge absolutamente para todo número real x. Em termos de série de potências, isso equivale a dizer que o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real.