Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(2n-1)!}
e pede para determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informações do enunciado que são relevantes e que vamos usar: \n
  1. O índice de soma é n=1,2,3,\dots. \n
  2. Os expoentes de x são 2n-1 (aparecem apenas potências ímpares de x). \n
  3. O denominador é o fatorial (2n-1)!. \n
  4. Há um fator alternante (-1)^{n-1}, mas para determinar o intervalo de convergência é conveniente primeiro analisar a convergência absoluta (módulo dos termos).

Passo 2

Vou usar o Teste da razão (Ratio Test) para séries de termos positivos/absolutos — é um método padrão e direto para séries que envolvem fatoriais e potências. Primeiro explico o teste de forma bem clara: \n
Se (a_n) é uma sequência de termos não negativos e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existir, então\n
  • se L<1 a série \sum a_n converge; \n
  • se L>1 a série diverge; \n
  • se L=1 o teste é inconclusivo. \n
    Aqui vamos aplicar o teste à série dos valores absolutos dos termos para obter convergência absoluta (que implica convergência simples).

Passo 3

Defino o termo geral da série e o seu módulo. O termo geral (com sinal) é
t_n=\frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
O módulo do termo (que usaremos no teste da razão) é
u_n=|t_n|=\frac{|x|^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Explicação: tomar o módulo elimina o sinal alternante e permite verificar convergência absoluta; se a soma dos u_n convergir, então a soma dos t_n também converge.

Passo 4

Calculo a razão \dfrac{u_{n+1}}{u_n} passo a passo. Primeiro escrevo u_{n+1}:
u_{n+1}=\frac{|x|^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}=\frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Agora a razão:
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\dfrac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}}{\dfrac{|x|^{2n-1}}{(2n-1)!}} = \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot\frac{(2n-1)!}{|x|^{2n-1}}.
Simplificando as potências de |x| e os fatoriais:
\frac{u_{n+1}}{u_n} = |x|^{2}\cdot\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} = |x|^{2}\cdot\frac{1}{(2n+1)(2n)}.
Observação: usei que (2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)!.

Passo 5

Tomo o limite quando n\to\infty da razão obtida:
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}.
Para qualquer valor fixo de |x| o denominador (2n+1)(2n) cresce sem limite quando n\to\infty, logo a fração tende a zero. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0.
Como 0<1, o Teste da razão garante que a série dos módulos \sum u_n converge. Ou seja, a série original converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
Comentário didático rápido: intuitivamente, fatoriais crescem muito mais rápido do que potências; por exemplo para qualquer constante a temos a^n/n!\to0. Isso é o que acontece aqui também e faz a razão tender a zero.

Passo 6

Conclusão: como a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real. (Observação extra: essa série é a série de Taylor de \sin x, que tem convergência em todo \mathbb{R}, mas a conclusão já veio do teste da razão.)

Resposta

(-\infty,\infty)

Exercícios relacionados