Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede para determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informações do enunciado que são relevantes e que vamos usar: \n
Informações do enunciado que são relevantes e que vamos usar: \n
- O índice de soma é
. \n - Os expoentes de
são (aparecem apenas potências ímpares de ). \n - O denominador é o fatorial
. \n - Há um fator alternante
, mas para determinar o intervalo de convergência é conveniente primeiro analisar a convergência absoluta (módulo dos termos).
Passo 2
Vou usar o Teste da razão (Ratio Test) para séries de termos positivos/absolutos — é um método padrão e direto para séries que envolvem fatoriais e potências. Primeiro explico o teste de forma bem clara: \n
Se é uma sequência de termos não negativos e
Se
existir, então\n
- se
a série converge; \n - se
a série diverge; \n - se
o teste é inconclusivo. \n
Aqui vamos aplicar o teste à série dos valores absolutos dos termos para obter convergência absoluta (que implica convergência simples).
Passo 3
Defino o termo geral da série e o seu módulo. O termo geral (com sinal) é
O módulo do termo (que usaremos no teste da razão) é
Explicação: tomar o módulo elimina o sinal alternante e permite verificar convergência absoluta; se a soma dos
convergir, então a soma dos
também converge.
Passo 4
Calculo a razão
passo a passo. Primeiro escrevo
:
Agora a razão:
Simplificando as potências de
e os fatoriais:
Observação: usei que
.
Passo 5
Tomo o limite quando
da razão obtida:
Para qualquer valor fixo de
o denominador
cresce sem limite quando
, logo a fração tende a zero. Portanto
Como
, o Teste da razão garante que a série dos módulos
converge. Ou seja, a série original converge absolutamente para todo
.
Comentário didático rápido: intuitivamente, fatoriais crescem muito mais rápido do que potências; por exemplo para qualquer constante
temos
. Isso é o que acontece aqui também e faz a razão tender a zero.
Passo 6
Conclusão: como a série converge absolutamente para todo
, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real. (Observação extra: essa série é a série de Taylor de
, que tem convergência em todo
, mas a conclusão já veio do teste da razão.)