Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3-x)^{n-1}}{\sqrt{n}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3-x)^{n-1}}{\sqrt{n}}.
Informações dadas:
A expressão geral do termo é \dfrac{(3-x)^{n-1}}{\sqrt{n}}.
A soma é feita para n=1,2,3,\dots.
O que devemos entregar: o conjunto de valores de x (intervalo em \mathbb{R}) para os quais a série converge.
Passo 2
Reescrever a série como uma série de potências centrada em x=3, para ficar claro o formato típico de série de potências. Faço a mudança de índice m=n-1, assim m=0,1,2,\dots. A série fica
\sum_{m=0}^\infty \frac{(3-x)^{m}}{\sqrt{m+1}}.
Aqui o termo geral é b_m(3-x)^m com
b_m=\frac{1}{\sqrt{m+1}}.
Isso mostra que a série é uma série de potências em (3-x) (ou equivalentemente em (x-3)) centrada em x=3.
Passo 3
Para séries de potências centradas em x_0 a convergência depende da distância |x-x_0| e existe um raio R tal que a série converge para |x-x_0|<R e diverge para |x-x_0|>R. O raio R pode ser calculado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
Esta é uma série do tipo \sum 1/n^{p} com p=\tfrac{1}{2}. Recordando o teste da série p: a série \sum 1/n^{p} converge somente se p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, então a série diverge. Conclusão: x=2 NÃO pertence ao intervalo de convergência.
Esta é uma série alternada com termos de módulo a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Verifico as duas hipóteses do Critério de Leibniz (teste da série alternada):
a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} é monótona decrescente para n grande (de fato 1/\sqrt{n+1}<1/\sqrt{n}).
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0.
Como ambas se satisfazem, a série alternada converge (convergência condicional). Para verificar se é absoluta ou condicional, observo que a série das normas é \sum |(-1)^{n-1}/\sqrt{n}|=\sum 1/\sqrt{n}, que já vimos diverge. Logo a convergência em x=4 é condicional, mas a série converge. Portanto x=4 deve ser incluído no intervalo.
Passo 8
Juntando tudo: a série converge para 2<x<4 por interior do disco de raio 1 em torno de 3, diverge em x=2 e converge condicionalmente em x=4. Assim o intervalo de convergência é (2,4].