Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3-x)^{n-1}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3-x)^{n-1}}{\sqrt{n}}.
Informações dadas:
  • A expressão geral do termo é \dfrac{(3-x)^{n-1}}{\sqrt{n}}.
  • A soma é feita para n=1,2,3,\dots.
    O que devemos entregar: o conjunto de valores de x (intervalo em \mathbb{R}) para os quais a série converge.

Passo 2

Reescrever a série como uma série de potências centrada em x=3, para ficar claro o formato típico de série de potências. Faço a mudança de índice m=n-1, assim m=0,1,2,\dots. A série fica
\sum_{m=0}^\infty \frac{(3-x)^{m}}{\sqrt{m+1}}.
Aqui o termo geral é b_m(3-x)^m com
b_m=\frac{1}{\sqrt{m+1}}.
Isso mostra que a série é uma série de potências em (3-x) (ou equivalentemente em (x-3)) centrada em x=3.

Passo 3

Para séries de potências centradas em x_0 a convergência depende da distância |x-x_0| e existe um raio R tal que a série converge para |x-x_0|<R e diverge para |x-x_0|>R. O raio R pode ser calculado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{m\to\infty} |b_m|^{1/m}},
onde b_m são os coeficientes da potência. Vou aplicar essa fórmula ao nosso b_m=\dfrac{1}{\sqrt{m+1}}.

Passo 4

Calcular \displaystyle\limsup_{m\to\infty} |b_m|^{1/m}. Temos
|b_m|^{1/m}=\left(\frac{1}{\sqrt{m+1}}\right)^{1/m}=(m+1)^{-1/(2m)}.
Para avaliar o limite, uso o fato que \lim_{m\to\infty}\dfrac{\ln(m+1)}{m}=0. Tomando logaritmo:
\ln\big((m+1)^{-1/(2m)}\big)=-\frac{1}{2m}\ln(m+1)\xrightarrow[m\to\infty]{}0,
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\lim_{m\to\infty}(m+1)^{-1/(2m)}=e^{0}=1.
Portanto
\limsup_{m\to\infty}|b_m|^{1/m}=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula do raio:
R=\frac{1}{1}=1.
Isto significa que a série converge pelo menos para |3-x|<1 e diverge para |3-x|>1. Em termos de x,
|3-x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2<x<4.
Portanto o intervalo interior de convergência é (2,4). Faltam agora testar os pontos finais x=2 e x=4 para ver se cada um deve ser incluído.

Passo 6

Testo o endpoint x=2. Substituindo x=2 na série original (ou na forma reindexada) obtemos
3-x=1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1^{\,n-1}}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}.
Esta é uma série do tipo \sum 1/n^{p} com p=\tfrac{1}{2}. Recordando o teste da série p: a série \sum 1/n^{p} converge somente se p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, então a série diverge. Conclusão: x=2 NÃO pertence ao intervalo de convergência.

Passo 7

Testo o endpoint x=4. Para x=4 temos
3-x= -1 \quad\Rightarrow\quad (3-x)^{n-1}=(-1)^{n-1},
então a série vira
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}.
Esta é uma série alternada com termos de módulo a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Verifico as duas hipóteses do Critério de Leibniz (teste da série alternada):
  1. a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} é monótona decrescente para n grande (de fato 1/\sqrt{n+1}<1/\sqrt{n}).
  2. \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0.
    Como ambas se satisfazem, a série alternada converge (convergência condicional). Para verificar se é absoluta ou condicional, observo que a série das normas é \sum |(-1)^{n-1}/\sqrt{n}|=\sum 1/\sqrt{n}, que já vimos diverge. Logo a convergência em x=4 é condicional, mas a série converge. Portanto x=4 deve ser incluído no intervalo.

Passo 8

Juntando tudo: a série converge para 2<x<4 por interior do disco de raio 1 em torno de 3, diverge em x=2 e converge condicionalmente em x=4. Assim o intervalo de convergência é (2,4].

Resposta

(2,4]

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