Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(5^{n}+5^{-n}\right)(x-1)^{3 n-2}}{n^{2}}

Passo 1

Enunciado: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(5^{n}+5^{-n}\right)(x-1)^{3 n-2}}{n^{2}}.
Informações dadas:
\; - A série é dada termo a termo por \displaystyle a_n(x)=\frac{\left(5^{n}+5^{-n}\right)(x-1)^{3 n-2}}{n^{2}}.\n \; - A incógnita é x (variável real) e devemos encontrar para quais x a série converge (intervalo de convergência).\n \; - Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Estratégia (explicação da ferramenta principal que vamos usar): vou aplicar o teste da raiz (root test) para séries, que é muito prático para séries com termos que envolvem potências dependendo de n.
Aula rápida sobre o teste da raiz:
\; - Para uma série \sum b_n com termos complexos ou reais, definimos
L=\limsup_{n\to\infty} |b_n|^{1/n}.
\; - Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui vamos aplicar com b_n=\dfrac{(5^{n}+5^{-n})(x-1)^{3n-2}}{n^{2}}.
Calculemos |b_n|^{1/n}. Primeiro escrevo explicitamente a raiz enésima do valor absoluto:
|b_n|^{1/n}=\left(\frac{5^{n}+5^{-n}}{n^{2}}\right)^{1/n}\cdot |x-1|^{(3n-2)/n}.

Passo 3

Vamos estudar o limite quando n\to\infty de cada fator separadamente.
  1. Para \left(5^{n}+5^{-n}\right)^{1/n}: note que 5^{n} domina 5^{-n} quando n grande, então
\left(5^{n}+5^{-n}\right)^{1/n}=5\left(1+5^{-2n}\right)^{1/n}.
Como 5^{-2n}\to0, tem-se \left(1+5^{-2n}\right)^{1/n}\to 1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(5^{n}+5^{-n}\right)^{1/n}=5.
  1. Para n^{2} no denominador: \left(n^{2}\right)^{1/n}=n^{2/n}. Como \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1, segue \lim_{n\to\infty}n^{2/n}=1.
  2. Para o fator com x: |x-1|^{(3n-2)/n}=|x-1|^{3-2/n}. Como 2/n\to0, temos |x-1|^{3-2/n}\to |x-1|^{3}.
Juntando tudo obtemos o limite (ou \limsup):
\lim_{n\to\infty} |b_n|^{1/n} = 5\cdot 1 \cdot |x-1|^{3} = 5\,|x-1|^{3}.

Passo 4

Aplicando o teste da raiz: a série converge absolutamente se
5\,|x-1|^{3} < 1.
Isto é equivalente a
|x-1|^{3} < \frac{1}{5}\quad\Longleftrightarrow\quad |x-1| < 5^{-1/3}.
Portanto o raio de convergência em torno de x=1 é
R=5^{-1/3},
e, por enquanto, sabemos que a série converge absolutamente para todo x com
1-5^{-1/3}<x<1+5^{-1/3}.
Agora precisamos testar os pontos da fronteira (os dois extremos) para ver se a convergência é incluída ou não.

Passo 5

Preparação para testar extremos: factorizei o termo para ficar mais claro:
\frac{\left(5^{n}+5^{-n}\right)(x-1)^{3 n-2}}{n^{2}}=(x-1)^{-2}\cdot\frac{\left(5^{n}+5^{-n}\right)\big((x-1)^{3}\big)^{n}}{n^{2}}.
É útil definir y=(x-1)^{3}. Assim a soma interna é da forma \sum \dfrac{(5^{n}+5^{-n})y^{n}}{n^{2}}, com um fator constante (x-1)^{-2} multiplicando a soma.

Passo 6

Testando o extremo x=1+5^{-1/3}.
Nesse caso x-1=5^{-1/3}, logo
y=(x-1)^{3}=(5^{-1/3})^{3}=\frac{1}{5}.
O fator (x-1)^{-2}=(5^{-1/3})^{-2}=5^{2/3} é uma constante finita. Substituindo em y na soma interna:
\frac{(5^{n}+5^{-n})y^{n}}{n^{2}}=\frac{(5^{n}+5^{-n})(1/5)^{n}}{n^{2}}=\frac{1+5^{-2n}}{n^{2}}.
Assim a série torna-se (multiplicada pela constante 5^{2/3}):
5^{2/3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+5^{-2n}}{n^{2}}.
Agora veja: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (série p com p=2>1), e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5^{-2n}}{n^{2}} converge por comparação com uma série geométrica ou simplesmente porque 5^{-2n} decai exponencialmente. Logo a soma \sum_{n}\dfrac{1+5^{-2n}}{n^{2}} converge absolutamente. Multiplicar por 5^{2/3} não altera isso. Conclusão: a série converge (absolutamente) em x=1+5^{-1/3}.

Passo 7

Testando o extremo x=1-5^{-1/3}.
Agora x-1=-5^{-1/3}, então
y=(x-1)^{3}=(-5^{-1/3})^{3}=-\frac{1}{5}.
O fator (x-1)^{-2}=(-5^{-1/3})^{-2}=5^{2/3} (positivo e finito). Substituindo:
\frac{(5^{n}+5^{-n})y^{n}}{n^{2}}=\frac{(5^{n}+5^{-n})(-1/5)^{n}}{n^{2}}=\frac{(-1)^{n}(1+5^{-2n})}{n^{2}}.
A série torna-se
5^{2/3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(1+5^{-2n})}{n^{2}}.
Para testar convergência absoluta consideramos a série de módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}(1+5^{-2n})}{n^{2}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+5^{-2n}}{n^{2}},
que já vimos que converge. Portanto a série converge absolutamente também em x=1-5^{-1/3}. Conclusão: ambos os extremos pertencem ao intervalo de convergência.

Resposta

\displaystyle \left[\,1-5^{-1/3},\;1+5^{-1/3}\right]

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