Informações dadas: \; - A série é dada termo a termo por \displaystyle a_n(x)=\frac{\left(5^{n}+5^{-n}\right)(x-1)^{3 n-2}}{n^{2}}.\n\; - A incógnita é x (variável real) e devemos encontrar para quais x a série converge (intervalo de convergência).\n\; - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Estratégia (explicação da ferramenta principal que vamos usar): vou aplicar o teste da raiz (root test) para séries, que é muito prático para séries com termos que envolvem potências dependendo de n.
Aula rápida sobre o teste da raiz: \; - Para uma série \sum b_n com termos complexos ou reais, definimos
L=\limsup_{n\to\infty} |b_n|^{1/n}.
\; - Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui vamos aplicar com b_n=\dfrac{(5^{n}+5^{-n})(x-1)^{3n-2}}{n^{2}}.
Calculemos |b_n|^{1/n}. Primeiro escrevo explicitamente a raiz enésima do valor absoluto:
É útil definir y=(x-1)^{3}. Assim a soma interna é da forma \sum \dfrac{(5^{n}+5^{-n})y^{n}}{n^{2}}, com um fator constante (x-1)^{-2} multiplicando a soma.
Passo 6
Testando o extremo x=1+5^{-1/3}.
Nesse caso x-1=5^{-1/3}, logo
y=(x-1)^{3}=(5^{-1/3})^{3}=\frac{1}{5}.
O fator (x-1)^{-2}=(5^{-1/3})^{-2}=5^{2/3} é uma constante finita. Substituindo em y na soma interna:
Agora veja: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (série p com p=2>1), e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{5^{-2n}}{n^{2}} converge por comparação com uma série geométrica ou simplesmente porque 5^{-2n} decai exponencialmente. Logo a soma \sum_{n}\dfrac{1+5^{-2n}}{n^{2}} converge absolutamente. Multiplicar por 5^{2/3} não altera isso. Conclusão: a série converge (absolutamente) em x=1+5^{-1/3}.
Passo 7
Testando o extremo x=1-5^{-1/3}.
Agora x-1=-5^{-1/3}, então
y=(x-1)^{3}=(-5^{-1/3})^{3}=-\frac{1}{5}.
O fator (x-1)^{-2}=(-5^{-1/3})^{-2}=5^{2/3} (positivo e finito). Substituindo:
que já vimos que converge. Portanto a série converge absolutamente também em x=1-5^{-1/3}. Conclusão: ambos os extremos pertencem ao intervalo de convergência.