Em cada caso. determine o intervalo de convergencia da serie de potencias.
(a) \sum_{n=1}^{\infty} n^{n}(x-3)^{n}
(b) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(-4)^{n}}
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots(2 n-1) \cdot x^{2 n-1}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots(2 n)}
(d) \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n}
(e) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-1)^{2 n}}{3^{2 n-1}}

Passo 1

O que o enunciado pede: para cada série dada devemos determinar o intervalo (em x) em que a série de potências converge. As séries são:
(a) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{n}(x-3)^{n}.
(b) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(-4)^{n}}.
(c) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)\cdot x^{2n-1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots(2n)}.
(d) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n}.
(e) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-1)^{2n}}{3^{2n-1}}.
Informações relevantes: cada item é uma série de potências centrada em um ponto (por exemplo, (a) centrada em 3, (b) em 0, (c) em 0, (d) em 0, (e) em 1). Para obter o intervalo de convergência vamos determinar o raio de convergência e depois checar os extremos.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática curta): para séries de potências da forma \sum a_n (x-c)^n é muito comum usar o teste da raiz (ou o teste da razão). O teste da raiz diz: para uma série \sum b_n considere
L=\limsup_{n\to\infty} |b_n|^{1/n}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Para série de potências com b_n = a_n (x-c)^n a condição L<1 dá, depois de manipular, uma condição do tipo |x-c|<R onde R é o raio de convergência. Em termos práticos usamos frequentemente
\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} = \frac{1}{R}
quando esse limite existe. Depois de encontrar R (ou diretamente a condição em |x-c|) devemos sempre verificar os pontos finais (os x com |x-c|=R), porque o teste da raiz não diz o que acontece nesses casos.

Passo 3

Resolvendo (a). Aplicamos o teste da raiz diretamente aos termos \,a_n(x)=n^{n}(x-3)^{n}\,\). Calculamos \[|a_n(x)|^{1/n} = (n^{n})^{1/n}\,|x-3|^{1} = n\,|x-3|.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} n\,|x-3| = \begin{cases} 0,& \text{se }|x-3|=0,\\[4pt] +\infty,& \text{se }|x-3|>0. \end{cases}
Pelo teste da raiz, a série converge somente quando esse limite é <1\]. Aqui, para qualquer \(x com |x-3|>0 o limite é +\infty>1, logo diverge; para x=3 o limite é 0<1. Portanto a única possibilidade de convergência é x=3.]

Passo 4

Verificação em x=3: se x=3 cada termo é n^{n}(3-3)^{n}=n^{n}\cdot 0^{n}=0 para n\ge 1, então a soma é 0 e a série converge trivialmente. Conclusão para (a): converge apenas no ponto x=3.

Passo 5

Resolvendo (b). A série é \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(-4)^n}. Tome a_n(x)=\dfrac{x^{2n+1}}{(-4)^n}. Aplicamos o teste da raiz:
|a_n(x)|^{1/n} = \left(\frac{|x|^{2n+1}}{4^{n}}\right)^{1/n} = |x|^{2 + 1/n}\cdot \frac{1}{4}.
Fazendo n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty} |a_n(x)|^{1/n} = \frac{|x|^{2}}{4}.
Condição de convergência é \dfrac{|x|^{2}}{4}<1, ou seja |x|^{2}<4 e portanto |x|<2. Isso dá raio R=2 e centro 0, ou seja intervalo candidato (-2,2). Agora checamos os extremos.
Verificação em x=2: o termo geral fica
\frac{2^{2n+1}}{(-4)^n} = 2\cdot\frac{4^n}{(-4)^n}=2\cdot\frac{1}{(-1)^n}=2(-1)^n.
Os termos não tendem a 0 (os termos são 2,-2,2,-2,\dots), logo a série diverge.
Verificação em x=-2: o termo geral é
\frac{(-2)^{2n+1}}{(-4)^n} = -2\cdot\frac{4^n}{(-4)^n}=-2(-1)^n,
novamente os termos não tendem a 0, logo a série diverge. Conclusão (b): intervalo de convergência (-2,2).

Passo 6

Resolvendo (c). Primeiro simplificamos a razão dos produtos ímpares e pares. Observação com identidade combinatória: para n\ge1
1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^{n} n!}, \qquad 2\cdot 4\cdot 6\cdots(2n) = 2^{n} n!.
Portanto o coeficiente multiplicativo é
\frac{1\cdot 3\cdots(2n-1)}{2\cdot 4\cdots(2n)} = \frac{\dfrac{(2n)!}{2^{n} n!}}{2^{n} n!} = \frac{(2n)!}{4^{n} (n!)^{2}}.
Assim o termo geral pode ser escrito como
a_n(x)=\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\,x^{2n-1}.
Agora aplicamos o teste da raiz. Note que \left(\dfrac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\right)^{1/n} tende para 1 quando n\to\infty (explicação rápida: \dfrac{(2n)!}{(n!)^2} é o coeficiente binomial central \binom{2n}{n}, que cresce como 4^{n}/\sqrt{\pi n}; dividir por 4^{n} dá algo da ordem 1/\sqrt{\pi n}, que é subexponencial, logo a raiz n-ésima tende a 1). Assim
|a_n(x)|^{1/n} \longrightarrow |x|^{2}.
Condição de convergência é |x|^{2}<1, isto é |x|<1. Então o raio é R=1, centro 0, candidato de convergência (-1,1).
Verificação de extremos:
  • Em x=1 os termos valem
a_n(1)=\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\cdot 1^{2n-1}=\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}}.
Usando a estimativa \binom{2n}{n}\sim \dfrac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}} (fórmula de Stirling aplicada ao binomial), temos
a_n(1)\sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}},
portanto os termos são comparáveis a 1/\sqrt{n} e a série \sum a_n(1) diverge (série tipo p com p=1/2). Logo diverge em x=1.
  • Em x=-1 temos
a_n(-1)=\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}(-1)^{2n-1}=-\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}},
que em módulo tem o mesmo comportamento 1/\sqrt{\pi n}. Os termos não formam uma série alternada decrescente a zero com soma convergente; na verdade a série \sum a_n(-1) diverge também (os termos não permitem cancelamento suficiente; são do mesmo tamanho \sim 1/\sqrt{n} ). Conclusão (c): intervalo de convergência (-1,1).

Passo 7

Resolvendo (d). A série é
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n}.
Podemos reescrever como uma série geométrica multiplicada por -1:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n} = -\sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n.
Uma série geométrica \sum r^n converge quando |r|<1. Aqui r=-x, então a condição é |-x|<1 que equivale a |x|<1. Raio R=1. Verificamos extremos:
  • Em x=1: a série é \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}, cujos termos não tendem a zero (são -1,1,-1,1,\dots), logo diverge.
  • Em x=-1: a série é \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} -1, claramente diverge (os termos são constantes -1). Conclusão (d): intervalo de convergência (-1,1).

Passo 8

Resolvendo (e). A série é
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-1)^{2n}}{3^{2n-1}}.
Primeiro simplificamos a potência de 3:
3^{2n-1} = \frac{3^{2n}}{3},
então
\frac{n(x-1)^{2n}}{3^{2n-1}} = 3n\left(\frac{(x-1)^{2}}{9}\right)^{n}.
Assim o termo geral é b_n(x)=3n\left(\dfrac{(x-1)^{2}}{9}\right)^{n}. Aplicamos o teste da raiz:
|b_n(x)|^{1/n} = (3n)^{1/n}\cdot \frac{|x-1|^{2}}{9} \xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{|x-1|^{2}}{9},
pois (3n)^{1/n}\to 1. Condição de convergência é \dfrac{|x-1|^{2}}{9}<1, ou seja |x-1|^{2}<9 e portanto |x-1|<3. O raio é R=3 e o intervalo candidato é (1-3,\,1+3)=(-2,4).
Verificação dos extremos:
  • Em x=4: temos (x-1)^{2}=9, logo o termo geral vale 3n\cdot 1^{n}=3n. Como os termos não tendem a 0 (pelo contrário tendem a +\infty), a série diverge.
  • Em x=-2: então (x-1)^{2}=(-3)^{2}=9 de novo, termo geral 3n, diverge igualmente. Conclusão (e): intervalo de convergência (-2,4).

Resposta

(a) \{3\}
(b) (-2,2)
(c) (-1,1)
(d) (-1,1)
(e) (-2,4)

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