Informações relevantes: cada item é uma série de potências centrada em um ponto (por exemplo, (a) centrada em 3, (b) em 0, (c) em 0, (d) em 0, (e) em 1). Para obter o intervalo de convergência vamos determinar o raio de convergência e depois checar os extremos.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática curta): para séries de potências da forma \sum a_n (x-c)^n é muito comum usar o teste da raiz (ou o teste da razão). O teste da raiz diz: para uma série \sum b_n considere
L=\limsup_{n\to\infty} |b_n|^{1/n}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Para série de potências com b_n = a_n (x-c)^n a condição L<1 dá, depois de manipular, uma condição do tipo |x-c|<R onde R é o raio de convergência. Em termos práticos usamos frequentemente
\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} = \frac{1}{R}
quando esse limite existe. Depois de encontrar R (ou diretamente a condição em |x-c|) devemos sempre verificar os pontos finais (os x com |x-c|=R), porque o teste da raiz não diz o que acontece nesses casos.
Passo 3
Resolvendo (a). Aplicamos o teste da raiz diretamente aos termos \,a_n(x)=n^{n}(x-3)^{n}\,\). Calculamos
\[|a_n(x)|^{1/n} = (n^{n})^{1/n}\,|x-3|^{1} = n\,|x-3|.
Pelo teste da raiz, a série converge somente quando esse limite é <1\]. Aqui, para qualquer \(x com |x-3|>0 o limite é +\infty>1, logo diverge; para x=3 o limite é 0<1. Portanto a única possibilidade de convergência é x=3.]
Passo 4
Verificação em x=3: se x=3 cada termo é n^{n}(3-3)^{n}=n^{n}\cdot 0^{n}=0 para n\ge 1, então a soma é 0 e a série converge trivialmente. Conclusão para (a): converge apenas no ponto x=3.
Passo 5
Resolvendo (b). A série é \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(-4)^n}. Tome a_n(x)=\dfrac{x^{2n+1}}{(-4)^n}. Aplicamos o teste da raiz:
Condição de convergência é \dfrac{|x|^{2}}{4}<1, ou seja |x|^{2}<4 e portanto |x|<2. Isso dá raio R=2 e centro 0, ou seja intervalo candidato (-2,2). Agora checamos os extremos.
Agora aplicamos o teste da raiz. Note que \left(\dfrac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\right)^{1/n} tende para 1 quando n\to\infty (explicação rápida: \dfrac{(2n)!}{(n!)^2} é o coeficiente binomial central \binom{2n}{n}, que cresce como 4^{n}/\sqrt{\pi n}; dividir por 4^{n} dá algo da ordem 1/\sqrt{\pi n}, que é subexponencial, logo a raiz n-ésima tende a 1). Assim
|a_n(x)|^{1/n} \longrightarrow |x|^{2}.
Condição de convergência é |x|^{2}<1, isto é |x|<1. Então o raio é R=1, centro 0, candidato de convergência (-1,1).
que em módulo tem o mesmo comportamento 1/\sqrt{\pi n}. Os termos não formam uma série alternada decrescente a zero com soma convergente; na verdade a série \sum a_n(-1) diverge também (os termos não permitem cancelamento suficiente; são do mesmo tamanho \sim 1/\sqrt{n} ). Conclusão (c): intervalo de convergência (-1,1).
Passo 7
Resolvendo (d). A série é
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} x^{n}.
Podemos reescrever como uma série geométrica multiplicada por -1:
Uma série geométrica \sum r^n converge quando |r|<1. Aqui r=-x, então a condição é |-x|<1 que equivale a |x|<1. Raio R=1. Verificamos extremos:
Em x=1: a série é \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}, cujos termos não tendem a zero (são -1,1,-1,1,\dots), logo diverge.
Em x=-1: a série é \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} -1, claramente diverge (os termos são constantes -1). Conclusão (d): intervalo de convergência (-1,1).
pois (3n)^{1/n}\to 1. Condição de convergência é \dfrac{|x-1|^{2}}{9}<1, ou seja |x-1|^{2}<9 e portanto |x-1|<3. O raio é R=3 e o intervalo candidato é (1-3,\,1+3)=(-2,4).
Verificação dos extremos:
Em x=4: temos (x-1)^{2}=9, logo o termo geral vale 3n\cdot 1^{n}=3n. Como os termos não tendem a 0 (pelo contrário tendem a +\infty), a série diverge.
Em x=-2: então (x-1)^{2}=(-3)^{2}=9 de novo, termo geral 3n, diverge igualmente. Conclusão (e): intervalo de convergência (-2,4).