Começando com a fórmula \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}. válida para |x|<1, represente cada função por uma série de poténcias de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergencia.
(a) \frac{1}{2+x}
(b) \frac{1}{1-x^{4}}
(c) \frac{1}{1-4 x}
(c) \frac{x}{2-3 x}
(d) \frac{x}{1-x^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a fórmula-base
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n},
válida para |x|<1, e pede que eu represente por séries de potências de x as seguintes funções e determine o raio e o intervalo de convergência:
(a) \dfrac{1}{2+x}
(b) \dfrac{1}{1-x^{4}}
(c) \dfrac{1}{1-4x}
(d) \dfrac{x}{2-3x}
(e) \dfrac{x}{1-x^{2}}
Eu vou transformar cada função numa forma geométrica compatível com a fórmula-base, obter a série e depois achar as condições sobre x (raio e intervalo) verificando também os pontos extremos quando necessário.
Passo 2
Estratégia geral e lembretes importantes (aula rápida antes de resolver):
A série geométrica básica é \dfrac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n} para |u|<1. Para usar essa fórmula basta escrever a função dada na forma \dfrac{1}{1-u} (ou com um fator multiplicativo fora).
Se escrevermos \dfrac{1}{1-a x}=\sum_{n=0}^{\infty}(a x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}x^{n}, a condição de convergência é |a x|<1, i.e. |x|<\dfrac{1}{|a|}. Esse valor \dfrac{1}{|a|} é o raio de convergência.
Se houver um fator multiplicativo na frente, ele só multiplica cada termo da série.
Teste de extremos: quando |u|=1 devemos checar os extremos substituindo x e ver se os termos da série vão a zero; se não vão a zero a série diverge (condição necessária de convergência: termo geral \to 0). Vou aplicar isso item a item.
Passo 3
Primeiro escrevo em forma 1/(1-u). Faço fator comum 2 no denominador:
Condição de convergência: \left|-\dfrac{x}{2}\right|<1, i.e.
|x|<2.
Testando os extremos: para x=2 o termo geral vale \dfrac{(-1)^{n}2^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{(-1)^{n}}{2} que não tende a 0 → diverge. Para x=-2 o termo geral vale \dfrac{(-1)^{n}(-2)^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{2^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2} → não tende a 0 → diverge. Logo o intervalo de convergência é (-2,2) e o raio é 2.
Passo 4
Aqui a identificação é direta: usar u=x^{4} na fórmula base:
Condição de convergência: |x^{4}|<1, ou seja |x|<1. Testando extremos: em x=1 o denominador é 0 (função não definida) e a série dá termos 1 → diverge; em x=-1 idem (denominador 0) → diverge. Logo raio 1 e intervalo (-1,1).
Condição: |4x|<1, i.e. |x|<\dfrac{1}{4}. Teste nos extremos: x=\dfrac{1}{4} dá termo geral 4^{n}(\tfrac{1}{4})^{n}=1 → não tende a 0 → diverge; x=-\dfrac{1}{4} dá termo geral (-1)^{n} → não tende a 0 → diverge. Logo raio \dfrac{1}{4} e intervalo \left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right).
Condição de convergência: \left|\dfrac{3x}{2}\right|<1, i.e. |x|<\dfrac{2}{3}. Teste extremos: para x=\dfrac{2}{3} o termo geral (na forma reindexada) é \dfrac{3^{m-1}}{2^{m}}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{m}=\dfrac{1}{3} → não tende a 0 → diverge. Para x=-\dfrac{2}{3} o termo geral é (-1)^{m}\dfrac{1}{3} → não tende a 0 → diverge. Logo intervalo \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right) e raio \dfrac{2}{3}.
Passo 7
Escrevo a função como x vezes uma série geométrica: