Começando com a fórmula \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}. válida para |x|<1, represente cada função por uma série de poténcias de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergencia.
(a) \frac{1}{2+x}
(b) \frac{1}{1-x^{4}}
(c) \frac{1}{1-4 x}
(c) \frac{x}{2-3 x}
(d) \frac{x}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a fórmula-base
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n},
válida para |x|<1, e pede que eu represente por séries de potências de x as seguintes funções e determine o raio e o intervalo de convergência:
(a) \dfrac{1}{2+x}
(b) \dfrac{1}{1-x^{4}}
(c) \dfrac{1}{1-4x}
(d) \dfrac{x}{2-3x}
(e) \dfrac{x}{1-x^{2}}
Eu vou transformar cada função numa forma geométrica compatível com a fórmula-base, obter a série e depois achar as condições sobre x (raio e intervalo) verificando também os pontos extremos quando necessário.

Passo 2

Estratégia geral e lembretes importantes (aula rápida antes de resolver):
  • A série geométrica básica é \dfrac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n} para |u|<1. Para usar essa fórmula basta escrever a função dada na forma \dfrac{1}{1-u} (ou com um fator multiplicativo fora).
  • Se escrevermos \dfrac{1}{1-a x}=\sum_{n=0}^{\infty}(a x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}x^{n}, a condição de convergência é |a x|<1, i.e. |x|<\dfrac{1}{|a|}. Esse valor \dfrac{1}{|a|} é o raio de convergência.
  • Se houver um fator multiplicativo na frente, ele só multiplica cada termo da série.
  • Teste de extremos: quando |u|=1 devemos checar os extremos substituindo x e ver se os termos da série vão a zero; se não vão a zero a série diverge (condição necessária de convergência: termo geral \to 0). Vou aplicar isso item a item.

Passo 3

Primeiro escrevo em forma 1/(1-u). Faço fator comum 2 no denominador:
\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2\left(1+\dfrac{x}{2}\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{x}{2}}.
Agora transformo 1+\dfrac{x}{2} em 1-(-\dfrac{x}{2}) para usar a fórmula geométrica:
\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-(-\tfrac{x}{2})}.
Aplicando a série geométrica com u=-\dfrac{x}{2} (válida para |u|<1):
\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{2^{\,n+1}}.
Condição de convergência: \left|-\dfrac{x}{2}\right|<1, i.e.
|x|<2.
Testando os extremos: para x=2 o termo geral vale \dfrac{(-1)^{n}2^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{(-1)^{n}}{2} que não tende a 0 → diverge. Para x=-2 o termo geral vale \dfrac{(-1)^{n}(-2)^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{2^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2} → não tende a 0 → diverge. Logo o intervalo de convergência é (-2,2) e o raio é 2.

Passo 4

Aqui a identificação é direta: usar u=x^{4} na fórmula base:
\frac{1}{1-x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(x^{4}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{4n}.
Condição de convergência: |x^{4}|<1, ou seja |x|<1. Testando extremos: em x=1 o denominador é 0 (função não definida) e a série dá termos 1 → diverge; em x=-1 idem (denominador 0) → diverge. Logo raio 1 e intervalo (-1,1).

Passo 5

Coloco na forma \dfrac{1}{1-u} com u=4x:
\frac{1}{1-4x}=\sum_{n=0}^{\infty}(4x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}4^{n}x^{n}.
Condição: |4x|<1, i.e. |x|<\dfrac{1}{4}. Teste nos extremos: x=\dfrac{1}{4} dá termo geral 4^{n}(\tfrac{1}{4})^{n}=1 → não tende a 0 → diverge; x=-\dfrac{1}{4} dá termo geral (-1)^{n} → não tende a 0 → diverge. Logo raio \dfrac{1}{4} e intervalo \left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right).

Passo 6

Faço fator 2 no denominador:
\frac{x}{2-3x}=\frac{x}{2\left(1-\dfrac{3x}{2}\right)}=\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{3x}{2}}.
Agora aplico a série geométrica com u=\dfrac{3x}{2}:
\frac{x}{2-3x}=\frac{x}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3x}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{2}\cdot\frac{3^{n}x^{n}}{2^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}x^{n+1}}{2^{n+1}}.
Se preferir reindexar para escrever como soma em potências x^{n} com expoente começando em n=1, faço m=n+1:
\frac{x}{2-3x}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{3^{\,m-1}}{2^{\,m}}x^{m}.
Condição de convergência: \left|\dfrac{3x}{2}\right|<1, i.e. |x|<\dfrac{2}{3}. Teste extremos: para x=\dfrac{2}{3} o termo geral (na forma reindexada) é \dfrac{3^{m-1}}{2^{m}}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{m}=\dfrac{1}{3} → não tende a 0 → diverge. Para x=-\dfrac{2}{3} o termo geral é (-1)^{m}\dfrac{1}{3} → não tende a 0 → diverge. Logo intervalo \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right) e raio \dfrac{2}{3}.

Passo 7

Escrevo a função como x vezes uma série geométrica:
\frac{x}{1-x^{2}}=x\cdot\frac{1}{1-x^{2}}=x\sum_{n=0}^{\infty}\left(x^{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+1}.
Condição: |x^{2}|<1 |x|<1. Teste extremos: x=1 dá termos todos 1 → diverge; x=-1 dá termos todos -1 → diverge. Portanto raio 1 e intervalo (-1,1).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{2^{\,n+1}},\quad\text{raio}=2,\quad\text{intervalo}=(-2,2)
(b) \displaystyle \frac{1}{1-x^{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{4n},\quad\text{raio}=1,\quad\text{intervalo}=(-1,1)
(c) \displaystyle \frac{1}{1-4x}=\sum_{n=0}^{\infty}4^{n}x^{n},\quad\text{raio}=\tfrac{1}{4},\quad\text{intervalo}=\left(-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right)
(d) \displaystyle \frac{x}{2-3x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{\,n-1}}{2^{\,n}}x^{n},\quad\text{raio}=\tfrac{2}{3},\quad\text{intervalo}=\left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right)
(e) \displaystyle \frac{x}{1-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+1},\quad\text{raio}=1,\quad\text{intervalo}=(-1,1)

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