Começando com a fórmula \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}. válida para |x|<1, represente cada função por uma série de poténcias de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergencia.
\frac{1-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu represente a função por uma série de potências em x e que determine o raio e o intervalo de convergência. A função dada é
\frac{1-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n},\quad\text{válida para }|x|<1.á
Objetivos concretos: (1) escrever a função como soma de potências de x (ou seja, uma série do tipo \sum a_n x^n), (2) determinar o raio de convergência R e (3) determinar o intervalo de convergência no eixo real.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão algébrica quando possível. Temos um fator comum em numerador e denominador:
\frac{1-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{1-x^{2}},
desde que 1-x^{2}\neq 0 (ou seja, para x\neq \pm 1). Então a função a representar por série é
\frac{1}{1-x^{2}}.
Nota rápida: a simplificação é legítima fora dos pontos x=\pm1, onde a expressão original não está definida por divisão por zero.

Passo 3

Agora uso a série geométrica conhecida fazendo a substituição y=x^{2}. A identidade geométrica é
\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty} y^{n},\quad\text{para }|y|<1.
Substituindo y=x^{2} obtemos
\frac{1}{1-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (x^{2})^{n}.

Passo 4

Simplifico a potência:
\sum_{n=0}^{\infty} (x^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}.
Escrevendo os primeiros termos para ficar bem claro:
\frac{1}{1-x^{2}}=1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\cdots.
Isto é uma série de potências em x (note que somente potências pares aparecem, mas é uma série de potências válida).

Passo 5

Determino o raio de convergência. A condição de validade da série geométrica após a substituição foi |y|<1, ou seja |x^{2}|<1. Como |x^{2}|=|x|^{2}, isso equivale a
|x|<1.
Portanto o raio de convergência é R=1.
Uma verificação alternativa (rápida) pelo teste da raiz para a série \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}:
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|x^{2n}|}=\lim_{n\to\infty} |x|^{2}=|x|^{2},
e a série converge se |x|^{2}<1, ou seja |x|<1, confirmando R=1.

Passo 6

Analiso os pontos extremos do intervalo [-1,1]. Em x=1 a série fica
\sum_{n=0}^{\infty} 1^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty} 1,
que diverge (somatório de uns). Em x=-1 a série fica
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty} 1,
pois (-1)^{2n}=1 para todo n, e novamente diverge. Logo não há convergência nos extremos x=\pm1.

Resposta

\displaystyle \frac{1-x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}=\frac{1}{1-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}=1+x^{2}+x^{4}+\cdots.
Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (-1,1).

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