Começando com a fórmula
. válida para
, represente cada função por uma série de poténcias de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergencia.
Passo 1
O enunciado pede que eu represente a função por uma série de potências em
e que determine o raio e o intervalo de convergência. A função dada é
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
Objetivos concretos: (1) escrever a função como soma de potências de
(ou seja, uma série do tipo
), (2) determinar o raio de convergência
e (3) determinar o intervalo de convergência no eixo real.
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão algébrica quando possível. Temos um fator comum em numerador e denominador:
desde que
(ou seja, para
). Então a função a representar por série é
Nota rápida: a simplificação é legítima fora dos pontos
, onde a expressão original não está definida por divisão por zero.
Passo 3
Agora uso a série geométrica conhecida fazendo a substituição
. A identidade geométrica é
Substituindo
obtemos
Passo 4
Simplifico a potência:
Escrevendo os primeiros termos para ficar bem claro:
Isto é uma série de potências em
(note que somente potências pares aparecem, mas é uma série de potências válida).
Passo 5
Determino o raio de convergência. A condição de validade da série geométrica após a substituição foi
, ou seja
. Como
, isso equivale a
Portanto o raio de convergência é
.
Uma verificação alternativa (rápida) pelo teste da raiz para a série
:
e a série converge se
, ou seja
, confirmando
.
Passo 6
Analiso os pontos extremos do intervalo
. Em
a série fica
que diverge (somatório de uns). Em
a série fica
pois
para todo
, e novamente diverge. Logo não há convergência nos extremos
.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: