Em cada caso, determine se o limite existe. Justifique e calcule o valor do limite caso ele exista. \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x y-x-y+1}{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{xy - x - y + 1}{(x-1)^2 + (y-1)^2}.
Informações dadas:
\text{função } f(x,y)=\frac{xy - x - y + 1}{(x-1)^2 + (y-1)^2},\qquad\text{ponto de interesse }(x,y)=(1,1).
O objetivo é: (1) verificar se o limite existe quando (x,y)\to(1,1); (2) se existir, calcular o valor. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão algébrica no numerador. Observe que
xy - x - y + 1 = (x-1)(y-1).
Explico essa fatoração passo a passo: multiplique (x-1)(y-1):
(x-1)(y-1) = xy - x - y + 1,
que é exatamente o numerador. Portanto podemos reescrever a função como
f(x,y)=\frac{(x-1)(y-1)}{(x-1)^2 + (y-1)^2}.
Passo 3
Para deixar as coisas mais claras, fazemos a mudança de variáveis
u = x-1,\qquad v = y-1.
Quando (x,y)\to(1,1) temos (u,v)\to(0,0). Em termos de u,v a expressão fica
\frac{uv}{u^2+v^2},
e o limite que queremos é
\lim_{(u,v)\to(0,0)} \frac{uv}{u^2+v^2}.
Agora o problema é entender o comportamento desta função quando nos aproximamos da origem no plano uv.
Passo 4
Uma técnica padrão para testar existência de limite em várias variáveis é estudar o limite ao longo de retas que passam pela origem: v = k u, com k constante (qualquer real). Se o limite quando (u,v)\to(0,0) existir e for único, então o limite ao longo de qualquer caminho, inclusive v=k u, deve dar o mesmo resultado. Se encontrarmos dois valores diferentes, isso prova que o limite total não existe.
Substituindo v = k u na expressão temos (para u\neq 0):
Aqui o valor não depende de r (a distância até a origem) mas depende do ângulo \theta. Isso mostra claramente que ao aproximar a origem por direções (ângulos) diferentes obtém-se valores diferentes; assim, não há um único valor limite.
Passo 7
Conclusão lógica: como os valores dos limites ao longo de diferentes caminhos (por exemplo v=0 e v=u) são distintos, o limite multivariável
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{xy - x - y + 1}{(x-1)^2 + (y-1)^2}