Em cada caso, determine se o limite existe. Justifique e calcule o valor do limite caso ele exista.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x y-x-y+1}{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{xy - x - y + 1}{(x-1)^2 + (y-1)^2}.
Informações dadas:
\text{função } f(x,y)=\frac{xy - x - y + 1}{(x-1)^2 + (y-1)^2},\qquad\text{ponto de interesse }(x,y)=(1,1).çã
O objetivo é: (1) verificar se o limite existe quando (x,y)\to(1,1); (2) se existir, calcular o valor. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão algébrica no numerador. Observe que
xy - x - y + 1 = (x-1)(y-1).
Explico essa fatoração passo a passo: multiplique (x-1)(y-1):
(x-1)(y-1) = xy - x - y + 1,
que é exatamente o numerador. Portanto podemos reescrever a função como
f(x,y)=\frac{(x-1)(y-1)}{(x-1)^2 + (y-1)^2}.

Passo 3

Para deixar as coisas mais claras, fazemos a mudança de variáveis
u = x-1,\qquad v = y-1.
Quando (x,y)\to(1,1) temos (u,v)\to(0,0). Em termos de u,v a expressão fica
\frac{uv}{u^2+v^2},
e o limite que queremos é
\lim_{(u,v)\to(0,0)} \frac{uv}{u^2+v^2}.
Agora o problema é entender o comportamento desta função quando nos aproximamos da origem no plano uv.

Passo 4

Uma técnica padrão para testar existência de limite em várias variáveis é estudar o limite ao longo de retas que passam pela origem: v = k u, com k constante (qualquer real). Se o limite quando (u,v)\to(0,0) existir e for único, então o limite ao longo de qualquer caminho, inclusive v=k u, deve dar o mesmo resultado. Se encontrarmos dois valores diferentes, isso prova que o limite total não existe.
Substituindo v = k u na expressão temos (para u\neq 0):
\frac{u\cdot (k u)}{u^2 + (k u)^2} = \frac{k u^2}{u^2(1+k^2)} = \frac{k}{1+k^2}.
Como essa expressão é independente de u (apenas depende de k), ao fazer u\to 0 o limite ao longo da reta v=ku é
\lim_{u\to 0}\frac{uv}{u^2+v^2}\Big|_{v=ku} = \frac{k}{1+k^2}.

Passo 5

Mostro dois casos concretos para evidenciar a dependência de k:
  • Se k=0 (ou seja, aproximando pela reta v=0, que corresponde a y=1), obtemos
\frac{k}{1+k^2}=\frac{0}{1+0}=0.
  • Se k=1 (ou seja, aproximando pela reta v=u, que corresponde a y=x), obtemos
\frac{k}{1+k^2}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Como 0\neq \tfrac{1}{2}, os limites ao longo dessas duas retas são diferentes.

Passo 6

Uma outra vista, que é mais geométrica, confirma a ideia: escrevemos em coordenadas polares no plano uv,
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,\qquad r\ge 0.
Então
\frac{uv}{u^2+v^2} = \frac{r\cos\theta\cdot r\sin\theta}{r^2} = \cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta).
Aqui o valor não depende de r (a distância até a origem) mas depende do ângulo \theta. Isso mostra claramente que ao aproximar a origem por direções (ângulos) diferentes obtém-se valores diferentes; assim, não há um único valor limite.

Passo 7

Conclusão lógica: como os valores dos limites ao longo de diferentes caminhos (por exemplo v=0 e v=u) são distintos, o limite multivariável
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{xy - x - y + 1}{(x-1)^2 + (y-1)^2}
não existe.

Resposta

O limite não existe.

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