Exercício 18. Determine, em \mathbb{R}, o conjunto verdade das seguintes inequações:
\left|\frac{5 x-3}{x+2}\right|<1

Passo 1

O enunciado pede: determinar, em \mathbb{R}, o conjunto verdade da inequação
\left|\frac{5x-3}{x+2}\right|<1.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é uma função racional com denominador x+2, portanto o domínio natural exclui x=-2.
  • A incógnita é x real e queremos todos os x que satisfazem a desigualdade estrita.
  • Não devemos esquecer de checar a restrição x\neq -2 no final.

Passo 2

Ideia de resolução e justificativa das operações que vou usar (aqui eu te ensino o porquê das receitas):
  • Para desigualdades envolvendo valor absoluto, uma técnica segura é usar que, para B\neq0,
\left|\frac{A}{B}\right|=\frac{|A|}{|B|}.
Aplicando isso temos a equivalência
\left|\frac{5x-3}{x+2}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{|5x-3|}{|x+2|}<1.
  • Como |x+2|>0 para x\neq-2, podemos multiplicar ambos os lados por |x+2| sem inverter o sinal:
|5x-3|<|x+2|.
  • Quando ambos os lados de uma desigualdade são não negativos (é o caso de valores absolutos), podemos elevar ao quadrado sem alterar a desigualdade (porque a função t\mapsto t^2 é estritamente crescente em t\ge0). Assim
|5x-3|<|x+2| \quad\Longleftrightarrow\quad (5x-3)^2<(x+2)^2,
mantendo a condição x\neq-2. Essa troca evita tratar casos separados de sinais do denominador.

Passo 3

Agora desenvolvo as potências e passo tudo para um lado para obter uma desigualdade quadrática:
(5x-3)^2<(x+2)^2.
Calculo cada quadrado (mostrando cada termo):
(5x-3)^2 = 25x^2 - 30x + 9,
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4.
Subtraindo o segundo do primeiro:
25x^2 - 30x + 9 < x^2 + 4x + 4.
Passo tudo para o lado esquerdo:
25x^2 - 30x + 9 - x^2 - 4x - 4 < 0,
que simplifica para
24x^2 - 34x + 5 < 0.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade quadrática. Primeiro encontramos as raízes da equação associada
24x^2 - 34x + 5 = 0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (vou te lembrar a fórmula): para ax^2+bx+c=0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde o discriminante é \Delta=b^2-4ac.
Aqui a=24, b=-34, c=5. Calculo o discriminante:
\Delta = (-34)^2 - 4\cdot24\cdot5 = 1156 - 480 = 676.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{676}=26. Portanto as raízes são
x=\frac{34\pm26}{48}.
Calculo cada uma:
x_1=\frac{34-26}{48}=\frac{8}{48}=\frac{1}{6},
x_2=\frac{34+26}{48}=\frac{60}{48}=\frac{5}{4}.

Passo 5

Interpretação da desigualdade com as raízes: o polinômio p(x)=24x^2-34x+5 é de grau 2 com coeficiente líder a=24>0, ou seja, a parábola abre para cima. Logo p(x)<0 ocorre estritamente entre as raízes. Assim a solução da desigualdade quadrática é
\frac{1}{6}<x<\frac{5}{4}.

Passo 6

Verificação final com a restrição do domínio e checagem de sentido:
  • Lembre que inicialmente excluímos x=-2 por causa do denominador; -2 não pertence ao intervalo \left(\frac{1}{6},\frac{5}{4}\right), então não precisamos removê-lo.
  • As desigualdades eram estritas, então as extremidades \frac{1}{6} e \frac{5}{4} não fazem parte da solução, como já está no intervalo aberto.
Opcional — checagem rápida com um ponto interno: por exemplo x=1 pertence ao intervalo e
\left|\frac{5\cdot1-3}{1+2}\right|=\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1,
confirma que pontos do intervalo funcionam. Um ponto fora, por exemplo x=2, dá \left|\frac{10-3}{4}\right|=\frac{7}{4}>1, então fora do intervalo a desigualdade falha. Tudo coerente.

Resposta

\left(\frac{1}{6},\frac{5}{4}\right)

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