Exercício 18. Determine, em \mathbb{R}, o conjunto verdade das seguintes inequações:
|4 x-7| \geq-1

Passo 1

O enunciado pede: determinar, em \mathbb{R}, o conjunto-verdade da inequação
|4x-7| \geq -1.
Informações dadas: a expressão absoluta |4x-7| e o membro direito da inequação igual a -1. A pergunta é: para quais x\in\mathbb{R} essa desigualdade é verdadeira?

Passo 2

Vamos lembrar a definição e uma propriedade básica do valor absoluto. Para qualquer número real y\) vale a definição em partes: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Dessa definição segue imediatamente a propriedade importante que vamos usar: para todo y\in\mathbb{R}\] temos \(|y|\ge 0. Em palavras: o valor absoluto nunca é negativo — ele é sempre maior ou igual a zero.]

Passo 3

Aplique a propriedade ao nosso caso tomando y=4x-7. Para qualquer x\in\mathbb{R} temos
|4x-7| \ge 0.
Aqui não precisamos saber o valor específico de x; a desigualdade |4x-7|\ge 0 é verdadeira para qualquer x porque vem da propriedade universal do valor absoluto.

Passo 4

Compare agora os membros direitos: observamos que
0 \ge -1,
porque -1 é menor que 0. Use a propriedade de transitividade de desigualdades: se a\ge b e b\ge c, então a\ge c. Aplicando com a=|4x-7|, b=0 e c=-1, obtemos para todo x\in\mathbb{R}
|4x-7| \ge 0 \quad\text{e}\quad 0 \ge -1 \quad\Longrightarrow\quad |4x-7| \ge -1.

Passo 5

Portanto a inequação |4x-7|\ge -1 é satisfeita para qualquer valor real de x. Para ver de forma concreta, dois exemplos rápidos: x=0 |4\cdot0-7|=7\ge-1; x=2 |4\cdot2-7|=1\ge-1. Isso ilustra que não há restrição sobre x.

Passo 6

Resumo didático: o raciocínio todo se apoia numa única ideia simples — o valor absoluto é sempre não negativo — e como -1 é menor que 0, toda quantidade não negativa é automaticamente maior ou igual a -1. Então não precisamos resolver equações ou casos: a desigualdade já vale para todos os reais.

Resposta

\mathbb{R}

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