Exercício 18. Determine, em
, o conjunto verdade das seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar, em
, o conjunto-verdade da inequação
Informações dadas: a expressão absoluta
e o membro direito da inequação igual a
. A pergunta é: para quais
essa desigualdade é verdadeira?
Passo 2
Vamos lembrar a definição e uma propriedade básica do valor absoluto. Para qualquer número real
Dessa definição segue imediatamente a propriedade importante que vamos usar: para todo
. Em palavras: o valor absoluto nunca é negativo — ele é sempre maior ou igual a zero.]
Passo 3
Aplique a propriedade ao nosso caso tomando
. Para qualquer
temos
Aqui não precisamos saber o valor específico de
; a desigualdade
é verdadeira para qualquer
porque vem da propriedade universal do valor absoluto.
Passo 4
Compare agora os membros direitos: observamos que
porque
é menor que
. Use a propriedade de transitividade de desigualdades: se
e
, então
. Aplicando com
,
e
, obtemos para todo
Passo 5
Portanto a inequação
é satisfeita para qualquer valor real de
. Para ver de forma concreta, dois exemplos rápidos:
dá
;
dá
. Isso ilustra que não há restrição sobre
.
Passo 6
Resumo didático: o raciocínio todo se apoia numa única ideia simples — o valor absoluto é sempre não negativo — e como
é menor que
, toda quantidade não negativa é automaticamente maior ou igual a
. Então não precisamos resolver equações ou casos: a desigualdade já vale para todos os reais.