Em cada caso, determine se o limite existe. Justifique e calcule o valor do limite caso ele exista. \lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{x y}{y-2 x}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{xy}{y-2x}
existe. Se existir, calcular seu valor. Informações dadas: a função é f(x,y)=\dfrac{xy}{y-2x} definida onde y-2x\neq0. O ponto de interesse é (1,2). Não há outras informações ou restrições no enunciado.
Passo 2
Primeira observação simples (teste por substituição): avalio numerador e denominador em (1,2).
Então na substituição direta obtemos uma forma do tipo \dfrac{2}{0}, ou seja, o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a zero. Isso sugere que a função pode divergir em módulo (tender a infinito ou menos infinito), mas precisamos investigar se o comportamento é único (por exemplo sempre +\infty) ou depende da direção de aproximação. Em limites em duas variáveis, se diferentes caminhos dão diferentes comportamentos, o limite não existe.
Passo 3
Estratégia didática: vamos analisar aproximações de (1,2) por retas (caminhos lineares) parametricamente. É um método simples e eficaz: se encontrarmos duas retas pelas quais os valores da função têm limites diferentes, então o limite bidimensional não existe. Parametrizamos um caminho que passa por (1,2) usando um parâmetro t pequeno:
x = 1 + t,\qquad y = 2 + \alpha t,
onde \alpha é um número real que escolhemos (representa a inclinação do caminho). Ao fazer t\to 0 temos (x,y)\to(1,2). Note que a reta dada por \alpha diferente de 2 não coincide com a reta problemática y=2x no entorno (essa reta tem denominador zero identicamente), então é válida para aproximar o ponto evitando pontos onde a função não está definida.
Passo 4
Agora calculo f ao longo desse caminho. Primeiro o denominador:
Para t muito pequeno, a ordem dominante no numerador é a constante 2 (pois os termos com t e t^2 vão a zero), enquanto o denominador é proporcional a t. Assim, para t\to 0 com \alpha\neq 2,
\frac{xy}{y-2x} \sim \frac{2}{(\alpha-2)t}.
Isto significa que o quociente tem módulo que cresce como 1/|t| e, portanto, diverge em módulo (tende a infinito em valor absoluto). O sinal do crescimento depende do sinal de (\alpha-2)t.
Passo 6
Agora escolho caminhos concretos para mostrar divergências com sinais diferentes. Primeiro, tomo \alpha=3 e t\to 0^+ (aproximação com x>1 e t positivo). Nesse caso \alpha-2=1>0 e
Assim, aproximando pela reta y=2+(x-1) vindo de x>1, a função tende a -\infty.
Passo 8
Conclusão do argumento: já encontramos dois caminhos (retas com \alpha=3 e \alpha=1) que se aproximam de (1,2) e para os quais os valores de f(x,y) tendem a limites divergentes com sinais opostos. Portanto não existe um único valor (nem -\infty nem +\infty consistentemente) que seja o limite quando (x,y)\to(1,2). Pelo critério de caminhos, o limite bidimensional não existe.