Em cada caso determine se a matriz A dada é ortogonal, nesse caso determine sua inversa. A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede para verificar se a matriz A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} é ortogonal. Lembrando que uma matriz A é ortogonal se e somente se A^T A = I, e nesse caso vale também A^{-1}=A^T. Passo 2Vamos calcular A^T e em seguida o produto A^T A. A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}. Agora, multiplicando A^T A: A^T A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}. Em particular, o elemento da segunda linha e terceira coluna é (A^T A)_{23} = \bigl(1,0,0\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\neq 0. Logo A^T A não é a identidade. Passo 3Como A^T A \neq I, concluímos que A não é ortogonal. RespostaA não é ortogonal. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja W o subespaço W=\left\{\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} / 5 x-3 y+z=0\right\}. Determine a matriz do operador de projeção ortogonal P_{W}, na base canônica de \mathbb{R}^{3}. Ө. Mostre que a matriz na base canônica de P é \left[\begin{array}{cc}\cos ^{2} \theta & \operatorname{sen} \theta \cos \theta \\\ \operatorname{sen} \theta \cos \theta & \operatorname{sen} \theta\end{array}\right]. Para o espaço euclideano \mathbb{R}^{4} encontre uma base ortogonal que contenha os vetores \left[\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right] e \left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right] Em cada caso determine se a matriz A dada é ortogonal, nesse caso determine sua inversa. A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right] Em cada caso determine se a matriz A dada é ortogonal, nesse caso determine sua inversa. A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]