Seja W o subespaço W=\left\{\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} / 5 x-3 y+z=0\right\}. Determine a matriz do operador de projeção ortogonal P_{W}, na base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Ө. Mostre que a matriz na base canônica de P é \left[\begin{array}{cc}\cos ^{2} \theta & \operatorname{sen} \theta \cos \theta \\\ \operatorname{sen} \theta \cos \theta & \operatorname{sen} \theta\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede duas projeções ortogonais em bases canônicas:
  1. Em \mathbb{R}^3, o subespaço
W=\Bigl\{\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3\mid 5x-3y+z=0\Bigr\},
logo W é um plano com vetor normal a=(5,-3,1)^T. Para projetar ortogonalmente em W, usaremos a fórmula
P_W = I - \frac{a\,a^T}{a^T a}.
  1. Em \mathbb{R}^2, projetar ortogonalmente em uma reta gerada pelo vetor unitário
u = \begin{pmatrix}\cos\theta\\sin\theta\end{pmatrix},
usando a fórmula
P = u\,u^T.

Passo 2

Calculemos primeiro P_W. O vetor normal é a=(5,-3,1)^T, de norma ao quadrado
a^T a = 5^2+(-3)^2+1^2 = 25+9+1 = 35.
Então
a\,a^T = \begin{pmatrix}5\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & -15 & 5\\\\ -15& 9 & -3\\\\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usando
P_W = I_3 - \frac1{35}\,a\,a^T,
obtemos
P_W = \frac1{35}\Bigl(35\,I_3 - a\,a^T\Bigr) = \frac1{35} \begin{pmatrix} 35-25 & 0+15 & 0-5\\[6pt] 0+15 & 35-9 & 0+3\\[6pt] 0-5 & 0+3 & 35-1 \end{pmatrix} = \frac1{35} \begin{pmatrix} 10 & 15 & -5\\\\ 15 & 26 & 3\\\\ -5 & 3 & 34 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora a projeção em \mathbb{R}^2 na reta gerada por u=(\cos\theta,\sin\theta)^T. Como u já é unitário,
P = u\,u^T = \begin{pmatrix}\cos\theta\\sin\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta\\[4pt] \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta \end{pmatrix}.]

Resposta

P_W = \displaystyle \frac1{35}\begin{pmatrix}10 & 15 & -5\\[3pt]15 & 26 & 3\\[3pt]-5 & 3 & 34\end{pmatrix}.
P = \displaystyle \begin{pmatrix}\cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta\\[3pt]\sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta\end{pmatrix}.]

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