Em cada caso determine se a matriz A dada é ortogonal, nesse caso determine sua inversa.
A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
é ortogonal. Lembrando que uma matriz A é ortogonal se e somente se
A^T A = I,
e nesse caso vale também A^{-1}=A^T.

Passo 2

Vamos calcular A^T e em seguida o produto A^T A.
A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.
Agora, multiplicando A^T A:
A^T A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.
Em particular, o elemento da segunda linha e terceira coluna é
(A^T A)_{23} = \bigl(1,0,0\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\neq 0.
Logo A^T A não é a identidade.

Passo 3

Como A^T A \neq I, concluímos que A não é ortogonal.

Resposta

A não é ortogonal.

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