Em cada caso, determine o menor número de termos que devem ser somados, para aproximar a soma da série com um erro menor do que E.
© sumn=2^infty 1n(ln n)^2 ; E=0.01.

Passo 1

O enunciado pede o menor número de termos que devemos somar de sumn=2^infty 1n(ln n)^2 para que o erro da aproximação seja menor do que E=0.01. O conteúdo principal é o teste da integral para séries de termos positivos decrescentes, e vamos precisar usar a comparação entre o resto da série e a integral correspondente.

Passo 2

Definimos a função f(x)=1x(ln x)^2. Para x>e temos ln x>1, o que faz com que x(ln x)^2 seja crescente e, consequentemente, f(x) seja positiva e decrescente para x>=2. Assim, podemos aplicar o teste da integral para estimar o resto da série.

Passo 3

O resto após N termos satisfaz
RN=sumn=N+1^infty1n(ln n)^2<=integralN^inftydxx(ln x)^2

Passo 4

Para calcular a integral, fazemos a substituição u=ln x, logo du=dx/x. Assim,
integralN^inftydxx(ln x)^2=integralln N^inftyduu^2=[-1u]ln N^infty=1ln N

Passo 5

Portanto o resto fica estimado por RN<=tfrac1ln N. Queremos RN, isto é,
1ln N<0.01Longrightarrowln N>100Longrightarrow N>e^100

Passo 6

Logo o menor N inteiro que garante erro menor que 0.01 é
N=llceil e^100rrceilapprox2.7times10^43

Resposta

O menor número de termos necessários é N=lceil e^100rceilapprox2.7times10^43.

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